Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55125 / 17486
↖ ↑ ↗
← N 78.587693°
W 28.594665°		 ← 60.42 m → N 78.587693°
W 28.591919°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.587150°
W 28.594665°		 ← 60.42 m →
3 653 m²		 N 78.587150°
W 28.591919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420574188232422 y=0.133411407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420574188232422 × 217)
    floor (0.420574188232422 × 131072)
    floor (55125.5)     		tx = 55125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133411407470703 × 217)
    floor (0.133411407470703 × 131072)
    floor (17486.5)     		ty = 17486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55125 / 17486 ti = "17/55125/17486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55125/17486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55125 ÷ 217
    55125 ÷ 131072     		x = 0.420570373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17486 ÷ 217
    17486 ÷ 131072     		y = 0.133407592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420570373535156 × 2 - 1) × π
    -0.158859252929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.49907106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133407592773438 × 2 - 1) × π
    0.733184814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3033680267437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49907106} λ = -0.49907106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3033680267437))-π/2
    2×atan(10.0078324032228)-π/2
    2×1.47120516275917-π/2
    2.94241032551834-1.57079632675     		φ = 1.37161400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49907106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.594665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37161400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.587693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55125 KachelY 17486 -0.49907106 1.37161400 -28.594665 78.587693
    Oben rechts KachelX + 1 55126 KachelY 17486 -0.49902313 1.37161400 -28.591919 78.587693
    Unten links KachelX 55125 KachelY + 1 17487 -0.49907106 1.37160451 -28.594665 78.587150
    Unten rechts KachelX + 1 55126 KachelY + 1 17487 -0.49902313 1.37160451 -28.591919 78.587150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37161400-1.37160451) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dl = 60.4607900003593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37161400-1.37160451) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dr = 60.4607900003593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49907106--0.49902313) × cos(1.37161400) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197867890290334 × 6371000     		do = 60.4213406509106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49907106--0.49902313) × cos(1.37160451) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197877192651756 × 6371000     		du = 60.4241812388783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37161400)-sin(1.37160451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197867890290334-0.197877192651756)×R²
    abs(-0.49902313--0.49907106)×9.30236142235308e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.30236142235308e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.30236142235308e-06×40589641000000     		ar = 3653.20786057977m²