Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55124 / 17495
↖ ↑ ↗
← N 78.582801°
W 28.597412°		 ← 60.46 m → N 78.582801°
W 28.594665°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.582257°
W 28.597412°		 ← 60.46 m →
3 656 m²		 N 78.582257°
W 28.594665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420566558837891 y=0.133480072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420566558837891 × 217)
    floor (0.420566558837891 × 131072)
    floor (55124.5)     		tx = 55124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133480072021484 × 217)
    floor (0.133480072021484 × 131072)
    floor (17495.5)     		ty = 17495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55124 / 17495 ti = "17/55124/17495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55124/17495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55124 ÷ 217
    55124 ÷ 131072     		x = 0.420562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17495 ÷ 217
    17495 ÷ 131072     		y = 0.133476257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420562744140625 × 2 - 1) × π
    -0.15887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49911900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133476257324219 × 2 - 1) × π
    0.733047485351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.30293659464712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49911900} λ = -0.49911900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30293659464712))-π/2
    2×atan(10.0035156343702)-π/2
    2×1.47116247045288-π/2
    2.94232494090575-1.57079632675     		φ = 1.37152861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49911900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.597412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37152861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.582801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55124 KachelY 17495 -0.49911900 1.37152861 -28.597412 78.582801
    Oben rechts KachelX + 1 55125 KachelY 17495 -0.49907106 1.37152861 -28.594665 78.582801
    Unten links KachelX 55124 KachelY + 1 17496 -0.49911900 1.37151912 -28.597412 78.582257
    Unten rechts KachelX + 1 55125 KachelY + 1 17496 -0.49907106 1.37151912 -28.594665 78.582257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37152861-1.37151912) × R
    9.48999999983435e-06 × 6371000     		dl = 60.4607899989447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37152861-1.37151912) × R
    9.48999999983435e-06 × 6371000     		dr = 60.4607899989447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49911900--0.49907106) × cos(1.37152861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197951591297278 × 6371000     		do = 60.4595112561091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49911900--0.49907106) × cos(1.37151912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19796089349832 × 6371000     		du = 60.462352387746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37152861)-sin(1.37151912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197951591297278-0.19796089349832)×R²
    abs(-0.49907106--0.49911900)×9.30220104200519e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.30220104200519e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.30220104200519e-06×40589641000000     		ar = 3655.5157020295m²