Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55123 / 17503
↖ ↑ ↗
← N 78.578451°
W 28.600159°		 ← 60.48 m → N 78.578451°
W 28.597412°		 →
↑
60.52 m
↓
↑
60.52 m
↓
N 78.577907°
W 28.600159°		 ← 60.49 m →
3 661 m²		 N 78.577907°
W 28.597412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420558929443359 y=0.133541107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420558929443359 × 217)
    floor (0.420558929443359 × 131072)
    floor (55123.5)     		tx = 55123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133541107177734 × 217)
    floor (0.133541107177734 × 131072)
    floor (17503.5)     		ty = 17503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55123 / 17503 ti = "17/55123/17503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55123/17503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55123 ÷ 217
    55123 ÷ 131072     		x = 0.420555114746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17503 ÷ 217
    17503 ÷ 131072     		y = 0.133537292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420555114746094 × 2 - 1) × π
    -0.158889770507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.49916694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133537292480469 × 2 - 1) × π
    0.732925415039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.30255309945016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49916694} λ = -0.49916694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30255309945016))-π/2
    2×atan(9.99968006967899)-π/2
    2×1.47112450657645-π/2
    2.9422490131529-1.57079632675     		φ = 1.37145269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49916694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.600159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37145269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.578451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55123 KachelY 17503 -0.49916694 1.37145269 -28.600159 78.578451
    Oben rechts KachelX + 1 55124 KachelY 17503 -0.49911900 1.37145269 -28.597412 78.578451
    Unten links KachelX 55123 KachelY + 1 17504 -0.49916694 1.37144319 -28.600159 78.577907
    Unten rechts KachelX + 1 55124 KachelY + 1 17504 -0.49911900 1.37144319 -28.597412 78.577907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37145269-1.37144319) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dl = 60.5244999999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37145269-1.37144319) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dr = 60.5244999999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49916694--0.49911900) × cos(1.37145269) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.198026008406374 × 6371000     		do = 60.4822401567934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49916694--0.49911900) × cos(1.37144319) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.198035320266714 × 6371000     		du = 60.4850842386286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37145269)-sin(1.37144319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198026008406374-0.198035320266714)×R²
    abs(-0.49911900--0.49916694)×9.31186034053288e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.31186034053288e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.31186034053288e-06×40589641000000     		ar = 3660.74341264953m²