Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55122 / 17501
↖ ↑ ↗
← N 78.579538°
W 28.602905°		 ← 60.46 m → N 78.579538°
W 28.600159°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.578995°
W 28.602905°		 ← 60.47 m →
3 656 m²		 N 78.578995°
W 28.600159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420551300048828 y=0.133525848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420551300048828 × 217)
    floor (0.420551300048828 × 131072)
    floor (55122.5)     		tx = 55122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133525848388672 × 217)
    floor (0.133525848388672 × 131072)
    floor (17501.5)     		ty = 17501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55122 / 17501 ti = "17/55122/17501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55122/17501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55122 ÷ 217
    55122 ÷ 131072     		x = 0.420547485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17501 ÷ 217
    17501 ÷ 131072     		y = 0.133522033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420547485351562 × 2 - 1) × π
    -0.158905029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49921487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133522033691406 × 2 - 1) × π
    0.732955932617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.3026489732494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49921487} λ = -0.49921487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3026489732494))-π/2
    2×atan(10.0006388229574)-π/2
    2×1.47113399888348-π/2
    2.94226799776696-1.57079632675     		φ = 1.37147167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49921487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.602905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37147167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.579538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55122 KachelY 17501 -0.49921487 1.37147167 -28.602905 78.579538
    Oben rechts KachelX + 1 55123 KachelY 17501 -0.49916694 1.37147167 -28.600159 78.579538
    Unten links KachelX 55122 KachelY + 1 17502 -0.49921487 1.37146218 -28.602905 78.578995
    Unten rechts KachelX + 1 55123 KachelY + 1 17502 -0.49916694 1.37146218 -28.600159 78.578995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37147167-1.37146218) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dl = 60.4607900003593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37147167-1.37146218) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dr = 60.4607900003593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49921487--0.49916694) × cos(1.37147167) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.198007404236089 × 6371000     		do = 60.4639429125296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49921487--0.49916694) × cos(1.37146218) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.198016706330148 × 6371000     		du = 60.4667834188548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37147167)-sin(1.37146218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198007404236089-0.198016706330148)×R²
    abs(-0.49916694--0.49921487)×9.30209405938798e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.30209405938798e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.30209405938798e-06×40589641000000     		ar = 3655.78362463407m²