Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55121 / 42865
↖ ↑ ↗
← N 52.721322°
W 28.605652°		 ← 184.99 m → N 52.721322°
W 28.602905°		 →
↑
184.95 m
↓
↑
184.95 m
↓
N 52.719658°
W 28.605652°		 ← 185 m →
34 215 m²		 N 52.719658°
W 28.602905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420543670654297 y=0.327037811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420543670654297 × 217)
    floor (0.420543670654297 × 131072)
    floor (55121.5)     		tx = 55121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327037811279297 × 217)
    floor (0.327037811279297 × 131072)
    floor (42865.5)     		ty = 42865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55121 / 42865 ti = "17/55121/42865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55121/42865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55121 ÷ 217
    55121 ÷ 131072     		x = 0.420539855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42865 ÷ 217
    42865 ÷ 131072     		y = 0.327033996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420539855957031 × 2 - 1) × π
    -0.158920288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.49926281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327033996582031 × 2 - 1) × π
    0.345932006835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08677745128629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49926281} λ = -0.49926281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08677745128629))-π/2
    2×atan(2.96470475655112)-π/2
    2×1.24547849060119-π/2
    2.49095698120238-1.57079632675     		φ = 0.92016065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49926281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.605652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92016065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.721322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55121 KachelY 42865 -0.49926281 0.92016065 -28.605652 52.721322
    Oben rechts KachelX + 1 55122 KachelY 42865 -0.49921487 0.92016065 -28.602905 52.721322
    Unten links KachelX 55121 KachelY + 1 42866 -0.49926281 0.92013162 -28.605652 52.719658
    Unten rechts KachelX + 1 55122 KachelY + 1 42866 -0.49921487 0.92013162 -28.602905 52.719658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92016065-0.92013162) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dl = 184.950129999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92016065-0.92013162) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dr = 184.950129999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49926281--0.49921487) × cos(0.92016065) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605692335426122 × 6371000     		do = 184.994029759945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49926281--0.49921487) × cos(0.92013162) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605715434310975 × 6371000     		du = 185.001084753944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92016065)-sin(0.92013162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605692335426122-0.605715434310975)×R²
    abs(-0.49921487--0.49926281)×2.30988848525238e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30988848525238e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30988848525238e-05×40589641000000     		ar = 34215.3222668427m²