Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55120 / 16942
↖ ↑ ↗
← N 78.879588°
W 28.608399°		 ← 58.91 m → N 78.879588°
W 28.605652°		 →
↑
58.93 m
↓
↑
58.93 m
↓
N 78.879058°
W 28.608399°		 ← 58.91 m →
3 472 m²		 N 78.879058°
W 28.605652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420536041259766 y=0.129261016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420536041259766 × 217)
    floor (0.420536041259766 × 131072)
    floor (55120.5)     		tx = 55120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129261016845703 × 217)
    floor (0.129261016845703 × 131072)
    floor (16942.5)     		ty = 16942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55120 / 16942 ti = "17/55120/16942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55120/16942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55120 ÷ 217
    55120 ÷ 131072     		x = 0.4205322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16942 ÷ 217
    16942 ÷ 131072     		y = 0.129257202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129257202148438 × 2 - 1) × π
    0.741485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32944570013701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49931075} λ = -0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32944570013701))-π/2
    2×atan(10.2722460501084)-π/2
    2×1.47375242330793-π/2
    2.94750484661585-1.57079632675     		φ = 1.37670852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37670852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.879588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55120 KachelY 16942 -0.49931075 1.37670852 -28.608399 78.879588
    Oben rechts KachelX + 1 55121 KachelY 16942 -0.49926281 1.37670852 -28.605652 78.879588
    Unten links KachelX 55120 KachelY + 1 16943 -0.49931075 1.37669927 -28.608399 78.879058
    Unten rechts KachelX + 1 55121 KachelY + 1 16943 -0.49926281 1.37669927 -28.605652 78.879058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37670852-1.37669927) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dl = 58.9317499997495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37670852-1.37669927) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dr = 58.9317499997495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49931075--0.49926281) × cos(1.37670852) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192871549452267 × 6371000     		do = 58.907935716435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49931075--0.49926281) × cos(1.37669927) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192880625766144 × 6371000     		du = 58.9107078563173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37670852)-sin(1.37669927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192871549452267-0.192880625766144)×R²
    abs(-0.49926281--0.49931075)×9.0763138769212e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.0763138769212e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.0763138769212e-06×40589641000000     		ar = 3471.62942433944m²