Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55117 / 17513
↖ ↑ ↗
← N 78.573011°
W 28.616638°		 ← 60.51 m → N 78.573011°
W 28.613892°		 →
↑
60.52 m
↓
↑
60.52 m
↓
N 78.572466°
W 28.616638°		 ← 60.51 m →
3 662 m²		 N 78.572466°
W 28.613892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420513153076172 y=0.133617401123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420513153076172 × 217)
    floor (0.420513153076172 × 131072)
    floor (55117.5)     		tx = 55117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133617401123047 × 217)
    floor (0.133617401123047 × 131072)
    floor (17513.5)     		ty = 17513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55117 / 17513 ti = "17/55117/17513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55117/17513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55117 ÷ 217
    55117 ÷ 131072     		x = 0.420509338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17513 ÷ 217
    17513 ÷ 131072     		y = 0.133613586425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420509338378906 × 2 - 1) × π
    -0.158981323242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.49945456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133613586425781 × 2 - 1) × π
    0.732772827148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.30207373045396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49945456} λ = -0.49945456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30207373045396))-π/2
    2×atan(9.99488768183451)-π/2
    2×1.47107703165844-π/2
    2.94215406331689-1.57079632675     		φ = 1.37135774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49945456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.616638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37135774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.573011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55117 KachelY 17513 -0.49945456 1.37135774 -28.616638 78.573011
    Oben rechts KachelX + 1 55118 KachelY 17513 -0.49940662 1.37135774 -28.613892 78.573011
    Unten links KachelX 55117 KachelY + 1 17514 -0.49945456 1.37134824 -28.616638 78.572466
    Unten rechts KachelX + 1 55118 KachelY + 1 17514 -0.49940662 1.37134824 -28.613892 78.572466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37135774-1.37134824) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dl = 60.5244999999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37135774-1.37134824) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dr = 60.5244999999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49945456--0.49940662) × cos(1.37135774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19811907719651 × 6371000     		do = 60.5106657608214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49945456--0.49940662) × cos(1.37134824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19812838887818 × 6371000     		du = 60.5135097880861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37135774)-sin(1.37134824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19811907719651-0.19812838887818)×R²
    abs(-0.49940662--0.49945456)×9.31168166995455e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.31168166995455e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.31168166995455e-06×40589641000000     		ar = 3662.46385643482m²