Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55116 / 18051
↖ ↑ ↗
← N 78.276527°
W 28.619385°		 ← 62.05 m → N 78.276527°
W 28.616638°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.275969°
W 28.619385°		 ← 62.05 m →
3 850 m²		 N 78.275969°
W 28.616638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420505523681641 y=0.137722015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420505523681641 × 217)
    floor (0.420505523681641 × 131072)
    floor (55116.5)     		tx = 55116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137722015380859 × 217)
    floor (0.137722015380859 × 131072)
    floor (18051.5)     		ty = 18051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55116 / 18051 ti = "17/55116/18051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55116/18051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55116 ÷ 217
    55116 ÷ 131072     		x = 0.420501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18051 ÷ 217
    18051 ÷ 131072     		y = 0.137718200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420501708984375 × 2 - 1) × π
    -0.15899658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49950249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137718200683594 × 2 - 1) × π
    0.724563598632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.27628367845837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49950249} λ = -0.49950249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27628367845837))-π/2
    2×atan(9.74041455105196)-π/2
    2×1.46848972805188-π/2
    2.93697945610375-1.57079632675     		φ = 1.36618313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49950249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.619385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36618313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.276527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55116 KachelY 18051 -0.49950249 1.36618313 -28.619385 78.276527
    Oben rechts KachelX + 1 55117 KachelY 18051 -0.49945456 1.36618313 -28.616638 78.276527
    Unten links KachelX 55116 KachelY + 1 18052 -0.49950249 1.36617339 -28.619385 78.275969
    Unten rechts KachelX + 1 55117 KachelY + 1 18052 -0.49945456 1.36617339 -28.616638 78.275969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36618313-1.36617339) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dl = 62.0535400005819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36618313-1.36617339) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dr = 62.0535400005819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49950249--0.49945456) × cos(1.36618313) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203188440758892 × 6371000     		do = 62.0460347427081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49950249--0.49945456) × cos(1.36617339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203197977569462 × 6371000     		du = 62.0489469225433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36618313)-sin(1.36617339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203188440758892-0.203197977569462)×R²
    abs(-0.49945456--0.49950249)×9.53681056953259e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.53681056953259e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.53681056953259e-06×40589641000000     		ar = 3850.26645433369m²