Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55116 / 17468
↖ ↑ ↗
← N 78.597471°
W 28.619385°		 ← 60.37 m → N 78.597471°
W 28.616638°		 →
↑
60.40 m
↓
↑
60.40 m
↓
N 78.596928°
W 28.619385°		 ← 60.37 m →
3 646 m²		 N 78.596928°
W 28.616638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420505523681641 y=0.133274078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420505523681641 × 217)
    floor (0.420505523681641 × 131072)
    floor (55116.5)     		tx = 55116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133274078369141 × 217)
    floor (0.133274078369141 × 131072)
    floor (17468.5)     		ty = 17468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55116 / 17468 ti = "17/55116/17468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55116/17468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55116 ÷ 217
    55116 ÷ 131072     		x = 0.420501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17468 ÷ 217
    17468 ÷ 131072     		y = 0.133270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420501708984375 × 2 - 1) × π
    -0.15899658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49950249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133270263671875 × 2 - 1) × π
    0.73345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30423089093686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49950249} λ = -0.49950249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30423089093686))-π/2
    2×atan(10.0164715301154)-π/2
    2×1.47129049322653-π/2
    2.94258098645305-1.57079632675     		φ = 1.37178466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49950249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.619385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37178466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.597471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55116 KachelY 17468 -0.49950249 1.37178466 -28.619385 78.597471
    Oben rechts KachelX + 1 55117 KachelY 17468 -0.49945456 1.37178466 -28.616638 78.597471
    Unten links KachelX 55116 KachelY + 1 17469 -0.49950249 1.37177518 -28.619385 78.596928
    Unten rechts KachelX + 1 55117 KachelY + 1 17469 -0.49945456 1.37177518 -28.616638 78.596928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37178466-1.37177518) × R
    9.48000000011717e-06 × 6371000     		dl = 60.3970800007465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37178466-1.37177518) × R
    9.48000000011717e-06 × 6371000     		dr = 60.3970800007465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49950249--0.49945456) × cos(1.37178466) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197700601580318 × 6371000     		do = 60.3702570308242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49950249--0.49945456) × cos(1.37177518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197709894459467 × 6371000     		du = 60.3730947232654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37178466)-sin(1.37177518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197700601580318-0.197709894459467)×R²
    abs(-0.49945456--0.49950249)×9.29287914830379e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.29287914830379e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.29287914830379e-06×40589641000000     		ar = 3646.27293775175m²