Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55115 / 42875
↖ ↑ ↗
← N 52.704683°
W 28.622131°		 ← 185.06 m → N 52.704683°
W 28.619385°		 →
↑
185.08 m
↓
↑
185.08 m
↓
N 52.703019°
W 28.622131°		 ← 185.07 m →
34 252 m²		 N 52.703019°
W 28.619385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420497894287109 y=0.327114105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420497894287109 × 217)
    floor (0.420497894287109 × 131072)
    floor (55115.5)     		tx = 55115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327114105224609 × 217)
    floor (0.327114105224609 × 131072)
    floor (42875.5)     		ty = 42875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55115 / 42875 ti = "17/55115/42875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55115/42875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55115 ÷ 217
    55115 ÷ 131072     		x = 0.420494079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42875 ÷ 217
    42875 ÷ 131072     		y = 0.327110290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420494079589844 × 2 - 1) × π
    -0.159011840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.49955043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327110290527344 × 2 - 1) × π
    0.345779418945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.08629808229009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49955043} λ = -0.49955043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08629808229009))-π/2
    2×atan(2.96328390959014)-π/2
    2×1.24533328784982-π/2
    2.49066657569964-1.57079632675     		φ = 0.91987025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49955043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.622131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91987025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.704683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55115 KachelY 42875 -0.49955043 0.91987025 -28.622131 52.704683
    Oben rechts KachelX + 1 55116 KachelY 42875 -0.49950249 0.91987025 -28.619385 52.704683
    Unten links KachelX 55115 KachelY + 1 42876 -0.49955043 0.91984120 -28.622131 52.703019
    Unten rechts KachelX + 1 55116 KachelY + 1 42876 -0.49950249 0.91984120 -28.619385 52.703019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91987025-0.91984120) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dl = 185.07754999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91987025-0.91984120) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dr = 185.07754999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49955043--0.49950249) × cos(0.91987025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605923380853863 × 6371000     		do = 185.064596980472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49955043--0.49950249) × cos(0.91984120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605946490541577 × 6371000     		du = 185.071655273943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91987025)-sin(0.91984120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605923380853863-0.605946490541577)×R²
    abs(-0.49950249--0.49955043)×2.3109687714129e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3109687714129e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3109687714129e-05×40589641000000     		ar = 34251.9553690985m²