Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55115 / 17517
↖ ↑ ↗
← N 78.570833°
W 28.622131°		 ← 60.52 m → N 78.570833°
W 28.619385°		 →
↑
60.52 m
↓
↑
60.52 m
↓
N 78.570289°
W 28.622131°		 ← 60.52 m →
3 663 m²		 N 78.570289°
W 28.619385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420497894287109 y=0.133647918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420497894287109 × 217)
    floor (0.420497894287109 × 131072)
    floor (55115.5)     		tx = 55115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133647918701172 × 217)
    floor (0.133647918701172 × 131072)
    floor (17517.5)     		ty = 17517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55115 / 17517 ti = "17/55115/17517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55115/17517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55115 ÷ 217
    55115 ÷ 131072     		x = 0.420494079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17517 ÷ 217
    17517 ÷ 131072     		y = 0.133644104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420494079589844 × 2 - 1) × π
    -0.159011840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.49955043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133644104003906 × 2 - 1) × π
    0.732711791992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.30188198285548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49955043} λ = -0.49955043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30188198285548))-π/2
    2×atan(9.99297136985442)-π/2
    2×1.47105803544441-π/2
    2.94211607088881-1.57079632675     		φ = 1.37131974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49955043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.622131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37131974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.570833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55115 KachelY 17517 -0.49955043 1.37131974 -28.622131 78.570833
    Oben rechts KachelX + 1 55116 KachelY 17517 -0.49950249 1.37131974 -28.619385 78.570833
    Unten links KachelX 55115 KachelY + 1 17518 -0.49955043 1.37131024 -28.622131 78.570289
    Unten rechts KachelX + 1 55116 KachelY + 1 17518 -0.49950249 1.37131024 -28.619385 78.570289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37131974-1.37131024) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dl = 60.5244999999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37131974-1.37131024) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dr = 60.5244999999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49955043--0.49950249) × cos(1.37131974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1981563238159 × 6371000     		do = 60.5220418371111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49955043--0.49950249) × cos(1.37131024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19816563542604 × 6371000     		du = 60.5248858425289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37131974)-sin(1.37131024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1981563238159-0.19816563542604)×R²
    abs(-0.49950249--0.49955043)×9.31161014056103e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.31161014056103e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.31161014056103e-06×40589641000000     		ar = 3663.15238725375m²