Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55114 / 17518
↖ ↑ ↗
← N 78.570289°
W 28.624878°		 ← 60.52 m → N 78.570289°
W 28.622131°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.569745°
W 28.624878°		 ← 60.53 m →
3 659 m²		 N 78.569745°
W 28.622131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420490264892578 y=0.133655548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420490264892578 × 217)
    floor (0.420490264892578 × 131072)
    floor (55114.5)     		tx = 55114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133655548095703 × 217)
    floor (0.133655548095703 × 131072)
    floor (17518.5)     		ty = 17518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55114 / 17518 ti = "17/55114/17518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55114/17518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55114 ÷ 217
    55114 ÷ 131072     		x = 0.420486450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17518 ÷ 217
    17518 ÷ 131072     		y = 0.133651733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420486450195312 × 2 - 1) × π
    -0.159027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49959837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133651733398438 × 2 - 1) × π
    0.732696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30183404595586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49959837} λ = -0.49959837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30183404595586))-π/2
    2×atan(9.99249234927043)-π/2
    2×1.47105328583302-π/2
    2.94210657166604-1.57079632675     		φ = 1.37131024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49959837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.624878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37131024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.570289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55114 KachelY 17518 -0.49959837 1.37131024 -28.624878 78.570289
    Oben rechts KachelX + 1 55115 KachelY 17518 -0.49955043 1.37131024 -28.622131 78.570289
    Unten links KachelX 55114 KachelY + 1 17519 -0.49959837 1.37130075 -28.624878 78.569745
    Unten rechts KachelX + 1 55115 KachelY + 1 17519 -0.49955043 1.37130075 -28.622131 78.569745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37131024-1.37130075) × R
    9.48999999983435e-06 × 6371000     		dl = 60.4607899989447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37131024-1.37130075) × R
    9.48999999983435e-06 × 6371000     		dr = 60.4607899989447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49959837--0.49955043) × cos(1.37131024) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19816563542604 × 6371000     		do = 60.524885842599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49959837--0.49955043) × cos(1.37130075) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19817493721663 × 6371000     		du = 60.527726848873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37131024)-sin(1.37130075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19816563542604-0.19817493721663)×R²
    abs(-0.49955043--0.49959837)×9.30179058927783e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.30179058927783e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.30179058927783e-06×40589641000000     		ar = 3659.4682973441m²