Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55111 / 17516
↖ ↑ ↗
← N 78.571378°
W 28.633118°		 ← 60.52 m → N 78.571378°
W 28.630371°		 →
↑
60.52 m
↓
↑
60.52 m
↓
N 78.570833°
W 28.633118°		 ← 60.52 m →
3 663 m²		 N 78.570833°
W 28.630371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420467376708984 y=0.133640289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420467376708984 × 217)
    floor (0.420467376708984 × 131072)
    floor (55111.5)     		tx = 55111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133640289306641 × 217)
    floor (0.133640289306641 × 131072)
    floor (17516.5)     		ty = 17516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55111 / 17516 ti = "17/55111/17516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55111/17516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55111 ÷ 217
    55111 ÷ 131072     		x = 0.420463562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17516 ÷ 217
    17516 ÷ 131072     		y = 0.133636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420463562011719 × 2 - 1) × π
    -0.159072875976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.49974218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133636474609375 × 2 - 1) × π
    0.73272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3019299197551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49974218} λ = -0.49974218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3019299197551))-π/2
    2×atan(9.99345041340172)-π/2
    2×1.47106278483263-π/2
    2.94212556966527-1.57079632675     		φ = 1.37132924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49974218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.633118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37132924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.571378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55111 KachelY 17516 -0.49974218 1.37132924 -28.633118 78.571378
    Oben rechts KachelX + 1 55112 KachelY 17516 -0.49969424 1.37132924 -28.630371 78.571378
    Unten links KachelX 55111 KachelY + 1 17517 -0.49974218 1.37131974 -28.633118 78.570833
    Unten rechts KachelX + 1 55112 KachelY + 1 17517 -0.49969424 1.37131974 -28.630371 78.570833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37132924-1.37131974) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dl = 60.5244999999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37132924-1.37131974) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dr = 60.5244999999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49974218--0.49969424) × cos(1.37132924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198147012187876 × 6371000     		do = 60.5191978262312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49974218--0.49969424) × cos(1.37131974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1981563238159 × 6371000     		du = 60.5220418371111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37132924)-sin(1.37131974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198147012187876-0.1981563238159)×R²
    abs(-0.49969424--0.49974218)×9.31162802417229e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.31162802417229e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.31162802417229e-06×40589641000000     		ar = 3662.98025514311m²