Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55108 / 16925
↖ ↑ ↗
← N 78.888590°
W 28.641357°		 ← 58.86 m → N 78.888590°
W 28.638611°		 →
↑
58.87 m
↓
↑
58.87 m
↓
N 78.888060°
W 28.641357°		 ← 58.86 m →
3 465 m²		 N 78.888060°
W 28.638611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420444488525391 y=0.129131317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420444488525391 × 217)
    floor (0.420444488525391 × 131072)
    floor (55108.5)     		tx = 55108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129131317138672 × 217)
    floor (0.129131317138672 × 131072)
    floor (16925.5)     		ty = 16925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55108 / 16925 ti = "17/55108/16925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55108/16925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55108 ÷ 217
    55108 ÷ 131072     		x = 0.420440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16925 ÷ 217
    16925 ÷ 131072     		y = 0.129127502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420440673828125 × 2 - 1) × π
    -0.15911865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49988599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129127502441406 × 2 - 1) × π
    0.741744995117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.33026062743055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49988599} λ = -0.49988599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33026062743055))-π/2
    2×atan(10.28062059564)-π/2
    2×1.47383098004037-π/2
    2.94766196008075-1.57079632675     		φ = 1.37686563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49988599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.641357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37686563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.888590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55108 KachelY 16925 -0.49988599 1.37686563 -28.641357 78.888590
    Oben rechts KachelX + 1 55109 KachelY 16925 -0.49983805 1.37686563 -28.638611 78.888590
    Unten links KachelX 55108 KachelY + 1 16926 -0.49988599 1.37685639 -28.641357 78.888060
    Unten rechts KachelX + 1 55109 KachelY + 1 16926 -0.49983805 1.37685639 -28.638611 78.888060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37686563-1.37685639) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dl = 58.8680400001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37686563-1.37685639) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dr = 58.8680400001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49988599--0.49983805) × cos(1.37686563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192717386967704 × 6371000     		do = 58.8608505255068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49988599--0.49983805) × cos(1.37685639) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192726453749244 × 6371000     		du = 58.8636197539682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37686563)-sin(1.37685639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192717386967704-0.192726453749244)×R²
    abs(-0.49983805--0.49988599)×9.06678154027896e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.06678154027896e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.06678154027896e-06×40589641000000     		ar = 3465.10441273697m²