Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55107 / 43203
↖ ↑ ↗
← N 52.155400°
W 28.644104°		 ← 187.39 m → N 52.155400°
W 28.641357°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
N 52.153714°
W 28.644104°		 ← 187.39 m →
35 123 m²		 N 52.153714°
W 28.641357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420436859130859 y=0.329616546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420436859130859 × 217)
    floor (0.420436859130859 × 131072)
    floor (55107.5)     		tx = 55107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329616546630859 × 217)
    floor (0.329616546630859 × 131072)
    floor (43203.5)     		ty = 43203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55107 / 43203 ti = "17/55107/43203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55107/43203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55107 ÷ 217
    55107 ÷ 131072     		x = 0.420433044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43203 ÷ 217
    43203 ÷ 131072     		y = 0.329612731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420433044433594 × 2 - 1) × π
    -0.159133911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.49993393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329612731933594 × 2 - 1) × π
    0.340774536132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.07057477921471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49993393} λ = -0.49993393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07057477921471))-π/2
    2×atan(2.9170556811875)-π/2
    2×1.24053988606803-π/2
    2.48107977213607-1.57079632675     		φ = 0.91028345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49993393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.644104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91028345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.155400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55107 KachelY 43203 -0.49993393 0.91028345 -28.644104 52.155400
    Oben rechts KachelX + 1 55108 KachelY 43203 -0.49988599 0.91028345 -28.641357 52.155400
    Unten links KachelX 55107 KachelY + 1 43204 -0.49993393 0.91025403 -28.644104 52.153714
    Unten rechts KachelX + 1 55108 KachelY + 1 43204 -0.49988599 0.91025403 -28.641357 52.153714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91028345-0.91025403) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dl = 187.434819999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91028345-0.91025403) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dr = 187.434819999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49993393--0.49988599) × cos(0.91028345) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613521940001429 × 6371000     		do = 187.385392531266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49993393--0.49988599) × cos(0.91025403) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613545172053088 × 6371000     		du = 187.392488197836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91028345)-sin(0.91025403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613521940001429-0.613545172053088)×R²
    abs(-0.49988599--0.49993393)×2.32320516588835e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32320516588835e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32320516588835e-05×40589641000000     		ar = 35123.2123096341m²