Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55107 / 16923
↖ ↑ ↗
← N 78.889648°
W 28.644104°		 ← 58.86 m → N 78.889648°
W 28.641357°		 →
↑
58.87 m
↓
↑
58.87 m
↓
N 78.889119°
W 28.644104°		 ← 58.86 m →
3 465 m²		 N 78.889119°
W 28.641357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420436859130859 y=0.129116058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420436859130859 × 217)
    floor (0.420436859130859 × 131072)
    floor (55107.5)     		tx = 55107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129116058349609 × 217)
    floor (0.129116058349609 × 131072)
    floor (16923.5)     		ty = 16923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55107 / 16923 ti = "17/55107/16923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55107/16923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55107 ÷ 217
    55107 ÷ 131072     		x = 0.420433044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16923 ÷ 217
    16923 ÷ 131072     		y = 0.129112243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420433044433594 × 2 - 1) × π
    -0.159133911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.49993393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129112243652344 × 2 - 1) × π
    0.741775512695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.33035650122979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49993393} λ = -0.49993393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33035650122979))-π/2
    2×atan(10.2816062850452)-π/2
    2×1.47384021787971-π/2
    2.94768043575943-1.57079632675     		φ = 1.37688411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49993393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.644104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37688411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.889648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55107 KachelY 16923 -0.49993393 1.37688411 -28.644104 78.889648
    Oben rechts KachelX + 1 55108 KachelY 16923 -0.49988599 1.37688411 -28.641357 78.889648
    Unten links KachelX 55107 KachelY + 1 16924 -0.49993393 1.37687487 -28.644104 78.889119
    Unten rechts KachelX + 1 55108 KachelY + 1 16924 -0.49988599 1.37687487 -28.641357 78.889119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37688411-1.37687487) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dl = 58.8680400001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37688411-1.37687487) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dr = 58.8680400001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49993393--0.49988599) × cos(1.37688411) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192699253355263 × 6371000     		do = 58.8553120535082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49993393--0.49988599) × cos(1.37687487) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19270832016971 × 6371000     		du = 58.8580812920201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37688411)-sin(1.37687487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192699253355263-0.19270832016971)×R²
    abs(-0.49988599--0.49993393)×9.06681444701185e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.06681444701185e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.06681444701185e-06×40589641000000     		ar = 3464.77837406526m²