Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55106 / 18754
↖ ↑ ↗
← N 77.877660°
W 28.646850°		 ← 64.13 m → N 77.877660°
W 28.644104°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.877084°
W 28.646850°		 ← 64.13 m →
4 110 m²		 N 77.877084°
W 28.644104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420429229736328 y=0.143085479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420429229736328 × 217)
    floor (0.420429229736328 × 131072)
    floor (55106.5)     		tx = 55106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143085479736328 × 217)
    floor (0.143085479736328 × 131072)
    floor (18754.5)     		ty = 18754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55106 / 18754 ti = "17/55106/18754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55106/18754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55106 ÷ 217
    55106 ÷ 131072     		x = 0.420425415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18754 ÷ 217
    18754 ÷ 131072     		y = 0.143081665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420425415039062 × 2 - 1) × π
    -0.159149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49998186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143081665039062 × 2 - 1) × π
    0.713836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24258403802547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49998186} λ = -0.49998186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24258403802547))-π/2
    2×atan(9.41763540052781)-π/2
    2×1.46500895565897-π/2
    2.93001791131794-1.57079632675     		φ = 1.35922158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49998186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.646850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35922158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.877660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55106 KachelY 18754 -0.49998186 1.35922158 -28.646850 77.877660
    Oben rechts KachelX + 1 55107 KachelY 18754 -0.49993393 1.35922158 -28.644104 77.877660
    Unten links KachelX 55106 KachelY + 1 18755 -0.49998186 1.35921152 -28.646850 77.877084
    Unten rechts KachelX + 1 55107 KachelY + 1 18755 -0.49993393 1.35921152 -28.644104 77.877084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35922158-1.35921152) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dl = 64.0922600009235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35922158-1.35921152) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dr = 64.0922600009235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49998186--0.49993393) × cos(1.35922158) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.20999979178558 × 6371000     		do = 64.1259627191871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49998186--0.49993393) × cos(1.35921152) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.210009627451346 × 6371000     		du = 64.1289661580518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35922158)-sin(1.35921152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20999979178558-0.210009627451346)×R²
    abs(-0.49993393--0.49998186)×9.83566576570616e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.83566576570616e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.83566576570616e-06×40589641000000     		ar = 4110.07412404588m²