Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55103 / 18755
↖ ↑ ↗
← N 77.877084°
W 28.655090°		 ← 64.13 m → N 77.877084°
W 28.652344°		 →
↑
64.16 m
↓
↑
64.16 m
↓
N 77.876507°
W 28.655090°		 ← 64.13 m →
4 114 m²		 N 77.876507°
W 28.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420406341552734 y=0.143093109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420406341552734 × 217)
    floor (0.420406341552734 × 131072)
    floor (55103.5)     		tx = 55103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143093109130859 × 217)
    floor (0.143093109130859 × 131072)
    floor (18755.5)     		ty = 18755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55103 / 18755 ti = "17/55103/18755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55103/18755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55103 ÷ 217
    55103 ÷ 131072     		x = 0.420402526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18755 ÷ 217
    18755 ÷ 131072     		y = 0.143089294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420402526855469 × 2 - 1) × π
    -0.159194946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50012567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143089294433594 × 2 - 1) × π
    0.713821411132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.24253610112585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50012567} λ = -0.50012567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24253610112585))-π/2
    2×atan(9.4171839591054)-π/2
    2×1.46500392217165-π/2
    2.93000784434331-1.57079632675     		φ = 1.35921152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50012567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.655090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35921152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.877084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55103 KachelY 18755 -0.50012567 1.35921152 -28.655090 77.877084
    Oben rechts KachelX + 1 55104 KachelY 18755 -0.50007774 1.35921152 -28.652344 77.877084
    Unten links KachelX 55103 KachelY + 1 18756 -0.50012567 1.35920145 -28.655090 77.876507
    Unten rechts KachelX + 1 55104 KachelY + 1 18756 -0.50007774 1.35920145 -28.652344 77.876507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35921152-1.35920145) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dl = 64.1559699991217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35921152-1.35920145) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dr = 64.1559699991217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50012567--0.50007774) × cos(1.35921152) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.210009627451346 × 6371000     		do = 64.1289661579775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50012567--0.50007774) × cos(1.35920145) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.21001947287283 × 6371000     		du = 64.131972575868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35921152)-sin(1.35920145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210009627451346-0.21001947287283)×R²
    abs(-0.50007774--0.50012567)×9.84542148374512e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.84542148374512e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.84542148374512e-06×40589641000000     		ar = 4114.35246856849m²