Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55101 / 42861
↖ ↑ ↗
← N 52.727976°
W 28.660584°		 ← 184.97 m → N 52.727976°
W 28.657837°		 →
↑
185.01 m
↓
↑
185.01 m
↓
N 52.726312°
W 28.660584°		 ← 184.97 m →
34 222 m²		 N 52.726312°
W 28.657837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420391082763672 y=0.327007293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420391082763672 × 217)
    floor (0.420391082763672 × 131072)
    floor (55101.5)     		tx = 55101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327007293701172 × 217)
    floor (0.327007293701172 × 131072)
    floor (42861.5)     		ty = 42861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55101 / 42861 ti = "17/55101/42861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55101/42861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55101 ÷ 217
    55101 ÷ 131072     		x = 0.420387268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42861 ÷ 217
    42861 ÷ 131072     		y = 0.327003479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420387268066406 × 2 - 1) × π
    -0.159225463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50022155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327003479003906 × 2 - 1) × π
    0.345993041992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.08696919888477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50022155} λ = -0.50022155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08696919888477))-π/2
    2×atan(2.96527328607373)-π/2
    2×1.24553655619635-π/2
    2.49107311239269-1.57079632675     		φ = 0.92027679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50022155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.660584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92027679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.727976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55101 KachelY 42861 -0.50022155 0.92027679 -28.660584 52.727976
    Oben rechts KachelX + 1 55102 KachelY 42861 -0.50017361 0.92027679 -28.657837 52.727976
    Unten links KachelX 55101 KachelY + 1 42862 -0.50022155 0.92024775 -28.660584 52.726312
    Unten rechts KachelX + 1 55102 KachelY + 1 42862 -0.50017361 0.92024775 -28.657837 52.726312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92027679-0.92024775) × R
    2.90399999999247e-05 × 6371000     		dl = 185.01383999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92027679-0.92024775) × R
    2.90399999999247e-05 × 6371000     		dr = 185.01383999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50022155--0.50017361) × cos(0.92027679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605599918867105 × 6371000     		do = 184.965803363804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50022155--0.50017361) × cos(0.92024775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605623027751476 × 6371000     		du = 184.972861411914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92027679)-sin(0.92024775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605599918867105-0.605623027751476)×R²
    abs(-0.50017361--0.50022155)×2.31088843709593e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31088843709593e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31088843709593e-05×40589641000000     		ar = 34221.8864696886m²