Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55101 / 18746
↖ ↑ ↗
← N 77.882273°
W 28.660584°		 ← 64.12 m → N 77.882273°
W 28.657837°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.881697°
W 28.660584°		 ← 64.12 m →
4 109 m²		 N 77.881697°
W 28.657837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420391082763672 y=0.143024444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420391082763672 × 217)
    floor (0.420391082763672 × 131072)
    floor (55101.5)     		tx = 55101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143024444580078 × 217)
    floor (0.143024444580078 × 131072)
    floor (18746.5)     		ty = 18746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55101 / 18746 ti = "17/55101/18746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55101/18746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55101 ÷ 217
    55101 ÷ 131072     		x = 0.420387268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18746 ÷ 217
    18746 ÷ 131072     		y = 0.143020629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420387268066406 × 2 - 1) × π
    -0.159225463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50022155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143020629882812 × 2 - 1) × π
    0.713958740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24296753322243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50022155} λ = -0.50022155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24296753322243))-π/2
    2×atan(9.42124771107824)-π/2
    2×1.46504921506586-π/2
    2.93009843013171-1.57079632675     		φ = 1.35930210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50022155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.660584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35930210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.882273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55101 KachelY 18746 -0.50022155 1.35930210 -28.660584 77.882273
    Oben rechts KachelX + 1 55102 KachelY 18746 -0.50017361 1.35930210 -28.657837 77.882273
    Unten links KachelX 55101 KachelY + 1 18747 -0.50022155 1.35929204 -28.660584 77.881697
    Unten rechts KachelX + 1 55102 KachelY + 1 18747 -0.50017361 1.35929204 -28.657837 77.881697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35930210-1.35929204) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dl = 64.0922600009235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35930210-1.35929204) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dr = 64.0922600009235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50022155--0.50017361) × cos(1.35930210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209921066585708 × 6371000     		do = 64.115297103487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50022155--0.50017361) × cos(1.35929204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209930902421552 × 6371000     		du = 64.1183012209282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35930210)-sin(1.35929204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209921066585708-0.209930902421552)×R²
    abs(-0.50017361--0.50022155)×9.83583584418524e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.83583584418524e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.83583584418524e-06×40589641000000     		ar = 4109.39056249042m²