Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55100 / 42860
↖ ↑ ↗
← N 52.729639°
W 28.663330°		 ← 184.92 m → N 52.729639°
W 28.660584°		 →
↑
184.95 m
↓
↑
184.95 m
↓
N 52.727976°
W 28.663330°		 ← 184.93 m →
34 202 m²		 N 52.727976°
W 28.660584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420383453369141 y=0.326999664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420383453369141 × 217)
    floor (0.420383453369141 × 131072)
    floor (55100.5)     		tx = 55100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326999664306641 × 217)
    floor (0.326999664306641 × 131072)
    floor (42860.5)     		ty = 42860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55100 / 42860 ti = "17/55100/42860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55100/42860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55100 ÷ 217
    55100 ÷ 131072     		x = 0.420379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42860 ÷ 217
    42860 ÷ 131072     		y = 0.326995849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.15924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50026948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326995849609375 × 2 - 1) × π
    0.34600830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08701713578439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50026948} λ = -0.50026948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08701713578439))-π/2
    2×atan(2.96541543548867)-π/2
    2×1.24555107121084-π/2
    2.49110214242167-1.57079632675     		φ = 0.92030582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50026948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.663330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92030582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.729639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55100 KachelY 42860 -0.50026948 0.92030582 -28.663330 52.729639
    Oben rechts KachelX + 1 55101 KachelY 42860 -0.50022155 0.92030582 -28.660584 52.729639
    Unten links KachelX 55100 KachelY + 1 42861 -0.50026948 0.92027679 -28.663330 52.727976
    Unten rechts KachelX + 1 55101 KachelY + 1 42861 -0.50022155 0.92027679 -28.660584 52.727976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92030582-0.92027679) × R
    2.90300000000965e-05 × 6371000     		dl = 184.950130000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92030582-0.92027679) × R
    2.90300000000965e-05 × 6371000     		dr = 184.950130000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50026948--0.50022155) × cos(0.92030582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.605576817429887 × 6371000     		do = 184.920166291443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50026948--0.50022155) × cos(0.92027679) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.605599918867105 × 6371000     		du = 184.927220593208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92030582)-sin(0.92027679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605576817429887-0.605599918867105)×R²
    abs(-0.50022155--0.50026948)×2.31014372180649e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31014372180649e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31014372180649e-05×40589641000000     		ar = 34201.6611446812m²