Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55100 / 18745
↖ ↑ ↗
← N 77.882850°
W 28.663330°		 ← 64.10 m → N 77.882850°
W 28.660584°		 →
↑
64.16 m
↓
↑
64.16 m
↓
N 77.882273°
W 28.663330°		 ← 64.10 m →
4 112 m²		 N 77.882273°
W 28.660584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420383453369141 y=0.143016815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420383453369141 × 217)
    floor (0.420383453369141 × 131072)
    floor (55100.5)     		tx = 55100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143016815185547 × 217)
    floor (0.143016815185547 × 131072)
    floor (18745.5)     		ty = 18745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55100 / 18745 ti = "17/55100/18745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55100/18745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55100 ÷ 217
    55100 ÷ 131072     		x = 0.420379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18745 ÷ 217
    18745 ÷ 131072     		y = 0.143013000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.15924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50026948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143013000488281 × 2 - 1) × π
    0.713973999023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.24301547012205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50026948} λ = -0.50026948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24301547012205))-π/2
    2×atan(9.421699347309)-π/2
    2×1.46505424643042-π/2
    2.93010849286084-1.57079632675     		φ = 1.35931217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50026948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.663330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35931217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.882850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55100 KachelY 18745 -0.50026948 1.35931217 -28.663330 77.882850
    Oben rechts KachelX + 1 55101 KachelY 18745 -0.50022155 1.35931217 -28.660584 77.882850
    Unten links KachelX 55100 KachelY + 1 18746 -0.50026948 1.35930210 -28.663330 77.882273
    Unten rechts KachelX + 1 55101 KachelY + 1 18746 -0.50022155 1.35930210 -28.660584 77.882273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35931217-1.35930210) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dl = 64.1559699991217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35931217-1.35930210) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dr = 64.1559699991217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50026948--0.50022155) × cos(1.35931217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209911220951414 × 6371000     		do = 64.0989165495417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50026948--0.50022155) × cos(1.35930210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209921066585708 × 6371000     		du = 64.1019230324161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35931217)-sin(1.35930210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209911220951414-0.209921066585708)×R²
    abs(-0.50022155--0.50026948)×9.84563429318186e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.84563429318186e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.84563429318186e-06×40589641000000     		ar = 4112.42460899753m²