Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 551 / 726
↖ ↑ ↗
← N 75.004940°
W131.572266°		 ← 2 528.62 m → N 75.004940°
W131.484375°		 →
↑
2 530.50 m
↓
↑
2 530.50 m
↓
N 74.982183°
W131.572266°		 ← 2 532.37 m →
6 403 413 m²		 N 74.982183°
W131.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1346435546875 y=0.1773681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1346435546875 × 212)
    floor (0.1346435546875 × 4096)
    floor (551.5)     		tx = 551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1773681640625 × 212)
    floor (0.1773681640625 × 4096)
    floor (726.5)     		ty = 726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 551 / 726 ti = "12/551/726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/551/726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 551 ÷ 212
    551 ÷ 4096     		x = 0.134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 726 ÷ 212
    726 ÷ 4096     		y = 0.17724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.73095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.29636924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17724609375 × 2 - 1) × π
    0.6455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.02792260152686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29636924} λ = -2.29636924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02792260152686))-π/2
    2×atan(7.59828528564903)-π/2
    2×1.43993974258733-π/2
    2.87987948517465-1.57079632675     		φ = 1.30908316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29636924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.572266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30908316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.004940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 551 KachelY 726 -2.29636924 1.30908316 -131.572266 75.004940
    Oben rechts KachelX + 1 552 KachelY 726 -2.29483526 1.30908316 -131.484375 75.004940
    Unten links KachelX 551 KachelY + 1 727 -2.29636924 1.30868597 -131.572266 74.982183
    Unten rechts KachelX + 1 552 KachelY + 1 727 -2.29483526 1.30868597 -131.484375 74.982183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30908316-1.30868597) × R
    0.000397189999999936 × 6371000     		dl = 2530.49748999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30908316-1.30868597) × R
    0.000397189999999936 × 6371000     		dr = 2530.49748999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29636924--2.29483526) × cos(1.30908316) × R
    0.00153398000000005 × 0.258735761045809 × 6371000     		do = 2528.62112046686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29636924--2.29483526) × cos(1.30868597) × R
    0.00153398000000005 × 0.259119405567724 × 6371000     		du = 2532.37047323102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30908316)-sin(1.30868597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258735761045809-0.259119405567724)×R²
    abs(-2.29483526--2.29636924)×0.000383644521914916×R²
    0.00153398000000005×0.000383644521914916×6371000²
    0.00153398000000005×0.000383644521914916×40589641000000     		ar = 6403413.34656011m²