Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55098 / 18750
↖ ↑ ↗
← N 77.879967°
W 28.668823°		 ← 64.13 m → N 77.879967°
W 28.666077°		 →
↑
64.16 m
↓
↑
64.16 m
↓
N 77.879390°
W 28.668823°		 ← 64.13 m →
4 114 m²		 N 77.879390°
W 28.666077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420368194580078 y=0.143054962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420368194580078 × 217)
    floor (0.420368194580078 × 131072)
    floor (55098.5)     		tx = 55098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143054962158203 × 217)
    floor (0.143054962158203 × 131072)
    floor (18750.5)     		ty = 18750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55098 / 18750 ti = "17/55098/18750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55098/18750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55098 ÷ 217
    55098 ÷ 131072     		x = 0.420364379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18750 ÷ 217
    18750 ÷ 131072     		y = 0.143051147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420364379882812 × 2 - 1) × π
    -0.159271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50036536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143051147460938 × 2 - 1) × π
    0.713897705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24277578562395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50036536} λ = -0.50036536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24277578562395))-π/2
    2×atan(9.41944138264006)-π/2
    2×1.46502908724931-π/2
    2.93005817449861-1.57079632675     		φ = 1.35926185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50036536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.668823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35926185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.879967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55098 KachelY 18750 -0.50036536 1.35926185 -28.668823 77.879967
    Oben rechts KachelX + 1 55099 KachelY 18750 -0.50031742 1.35926185 -28.666077 77.879967
    Unten links KachelX 55098 KachelY + 1 18751 -0.50036536 1.35925178 -28.668823 77.879390
    Unten rechts KachelX + 1 55099 KachelY + 1 18751 -0.50031742 1.35925178 -28.666077 77.879390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35926185-1.35925178) × R
    1.00700000000842e-05 × 6371000     		dl = 64.1559700005363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35926185-1.35925178) × R
    1.00700000000842e-05 × 6371000     		dr = 64.1559700005363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50036536--0.50031742) × cos(1.35926185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209960419578704 × 6371000     		do = 64.1273165204942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50036536--0.50031742) × cos(1.35925178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209970265106616 × 6371000     		du = 64.1303235981423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35926185)-sin(1.35925178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209960419578704-0.209970265106616)×R²
    abs(-0.50031742--0.50036536)×9.84552791172266e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.84552791172266e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.84552791172266e-06×40589641000000     		ar = 4114.24665587023m²