Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55094 / 14626
↖ ↑ ↗
← N 80.041914°
W 28.679810°		 ← 52.82 m → N 80.041914°
W 28.677063°		 →
↑
52.82 m
↓
↑
52.82 m
↓
N 80.041439°
W 28.679810°		 ← 52.82 m →
2 790 m²		 N 80.041439°
W 28.677063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420337677001953 y=0.111591339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420337677001953 × 217)
    floor (0.420337677001953 × 131072)
    floor (55094.5)     		tx = 55094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111591339111328 × 217)
    floor (0.111591339111328 × 131072)
    floor (14626.5)     		ty = 14626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55094 / 14626 ti = "17/55094/14626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55094/14626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55094 ÷ 217
    55094 ÷ 131072     		x = 0.420333862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14626 ÷ 217
    14626 ÷ 131072     		y = 0.111587524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420333862304688 × 2 - 1) × π
    -0.159332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50055711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111587524414062 × 2 - 1) × π
    0.776824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44046755965706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50055711} λ = -0.50055711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44046755965706))-π/2
    2×atan(11.4784063280578)-π/2
    2×1.48389563172668-π/2
    2.96779126345336-1.57079632675     		φ = 1.39699494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50055711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.679810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39699494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.041914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55094 KachelY 14626 -0.50055711 1.39699494 -28.679810 80.041914
    Oben rechts KachelX + 1 55095 KachelY 14626 -0.50050917 1.39699494 -28.677063 80.041914
    Unten links KachelX 55094 KachelY + 1 14627 -0.50055711 1.39698665 -28.679810 80.041439
    Unten rechts KachelX + 1 55095 KachelY + 1 14627 -0.50050917 1.39698665 -28.677063 80.041439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39699494-1.39698665) × R
    8.28999999979985e-06 × 6371000     		dl = 52.8155899987248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39699494-1.39698665) × R
    8.28999999979985e-06 × 6371000     		dr = 52.8155899987248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50055711--0.50050917) × cos(1.39699494) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172927706574999 × 6371000     		do = 52.8165727472597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50055711--0.50050917) × cos(1.39698665) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.172935871676226 × 6371000     		du = 52.819066579344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39699494)-sin(1.39698665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172927706574999-0.172935871676226)×R²
    abs(-0.50050917--0.50055711)×8.16510122672587e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.16510122672587e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.16510122672587e-06×40589641000000     		ar = 2789.60430805582m²