Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55093 / 42810
↖ ↑ ↗
← N 52.812723°
W 28.682556°		 ← 184.57 m → N 52.812723°
W 28.679810°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 52.811063°
W 28.682556°		 ← 184.57 m →
34 078 m²		 N 52.811063°
W 28.679810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420330047607422 y=0.326618194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420330047607422 × 217)
    floor (0.420330047607422 × 131072)
    floor (55093.5)     		tx = 55093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326618194580078 × 217)
    floor (0.326618194580078 × 131072)
    floor (42810.5)     		ty = 42810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55093 / 42810 ti = "17/55093/42810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55093/42810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55093 ÷ 217
    55093 ÷ 131072     		x = 0.420326232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42810 ÷ 217
    42810 ÷ 131072     		y = 0.326614379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420326232910156 × 2 - 1) × π
    -0.159347534179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50060504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326614379882812 × 2 - 1) × π
    0.346771240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0894139807654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50060504} λ = -0.50060504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0894139807654))-π/2
    2×atan(2.97253160135825)-π/2
    2×1.24627611615118-π/2
    2.49255223230236-1.57079632675     		φ = 0.92175591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50060504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.682556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92175591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.812723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55093 KachelY 42810 -0.50060504 0.92175591 -28.682556 52.812723
    Oben rechts KachelX + 1 55094 KachelY 42810 -0.50055711 0.92175591 -28.679810 52.812723
    Unten links KachelX 55093 KachelY + 1 42811 -0.50060504 0.92172693 -28.682556 52.811063
    Unten rechts KachelX + 1 55094 KachelY + 1 42811 -0.50055711 0.92172693 -28.679810 52.811063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92175591-0.92172693) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92175591-0.92172693) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50060504--0.50055711) × cos(0.92175591) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.604422218582554 × 6371000     		do = 184.567595643158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50060504--0.50055711) × cos(0.92172693) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.604445305656059 × 6371000     		du = 184.57464555879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92175591)-sin(0.92172693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604422218582554-0.604445305656059)×R²
    abs(-0.50055711--0.50060504)×2.30870735054012e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.30870735054012e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.30870735054012e-05×40589641000000     		ar = 34077.6576211522m²