Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55091 / 16725
↖ ↑ ↗
← N 78.993956°
W 28.688050°		 ← 58.31 m → N 78.993956°
W 28.685303°		 →
↑
58.29 m
↓
↑
58.29 m
↓
N 78.993432°
W 28.688050°		 ← 58.31 m →
3 399 m²		 N 78.993432°
W 28.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420314788818359 y=0.127605438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420314788818359 × 217)
    floor (0.420314788818359 × 131072)
    floor (55091.5)     		tx = 55091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127605438232422 × 217)
    floor (0.127605438232422 × 131072)
    floor (16725.5)     		ty = 16725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55091 / 16725 ti = "17/55091/16725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55091/16725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55091 ÷ 217
    55091 ÷ 131072     		x = 0.420310974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16725 ÷ 217
    16725 ÷ 131072     		y = 0.127601623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420310974121094 × 2 - 1) × π
    -0.159378051757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.50070092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127601623535156 × 2 - 1) × π
    0.744796752929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.33984800735456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50070092} λ = -0.50070092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33984800735456))-π/2
    2×atan(10.3796588110301)-π/2
    2×1.47475047497795-π/2
    2.9495009499559-1.57079632675     		φ = 1.37870462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50070092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.688050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37870462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.993956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55091 KachelY 16725 -0.50070092 1.37870462 -28.688050 78.993956
    Oben rechts KachelX + 1 55092 KachelY 16725 -0.50065298 1.37870462 -28.685303 78.993956
    Unten links KachelX 55091 KachelY + 1 16726 -0.50070092 1.37869547 -28.688050 78.993432
    Unten rechts KachelX + 1 55092 KachelY + 1 16726 -0.50065298 1.37869547 -28.685303 78.993432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37870462-1.37869547) × R
    9.14999999990229e-06 × 6371000     		dl = 58.2946499993775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37870462-1.37869547) × R
    9.14999999990229e-06 × 6371000     		dr = 58.2946499993775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50070092--0.50065298) × cos(1.37870462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190912545258784 × 6371000     		do = 58.3096054109095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50070092--0.50065298) × cos(1.37869547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190921526955297 × 6371000     		du = 58.3123486522134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37870462)-sin(1.37869547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190912545258784-0.190921526955297)×R²
    abs(-0.50065298--0.50070092)×8.98169651289416e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.98169651289416e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.98169651289416e-06×40589641000000     		ar = 3399.21799702553m²