Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55090 / 16723
↖ ↑ ↗
← N 78.995005°
W 28.690796°		 ← 58.29 m → N 78.995005°
W 28.688050°		 →
↑
58.36 m
↓
↑
58.36 m
↓
N 78.994480°
W 28.690796°		 ← 58.29 m →
3 402 m²		 N 78.994480°
W 28.688050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420307159423828 y=0.127590179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420307159423828 × 217)
    floor (0.420307159423828 × 131072)
    floor (55090.5)     		tx = 55090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127590179443359 × 217)
    floor (0.127590179443359 × 131072)
    floor (16723.5)     		ty = 16723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55090 / 16723 ti = "17/55090/16723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55090/16723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55090 ÷ 217
    55090 ÷ 131072     		x = 0.420303344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16723 ÷ 217
    16723 ÷ 131072     		y = 0.127586364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420303344726562 × 2 - 1) × π
    -0.159393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50074885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127586364746094 × 2 - 1) × π
    0.744827270507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.3399438811538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50074885} λ = -0.50074885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3399438811538))-π/2
    2×atan(10.3806539960605)-π/2
    2×1.47475962630269-π/2
    2.94951925260539-1.57079632675     		φ = 1.37872293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50074885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.690796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37872293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.995005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55090 KachelY 16723 -0.50074885 1.37872293 -28.690796 78.995005
    Oben rechts KachelX + 1 55091 KachelY 16723 -0.50070092 1.37872293 -28.688050 78.995005
    Unten links KachelX 55090 KachelY + 1 16724 -0.50074885 1.37871377 -28.690796 78.994480
    Unten rechts KachelX + 1 55091 KachelY + 1 16724 -0.50070092 1.37871377 -28.688050 78.994480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37872293-1.37871377) × R
    9.15999999984152e-06 × 6371000     		dl = 58.3583599989903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37872293-1.37871377) × R
    9.15999999984152e-06 × 6371000     		dr = 58.3583599989903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50074885--0.50070092) × cos(1.37872293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190894572001703 × 6371000     		do = 58.2919540224568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50074885--0.50070092) × cos(1.37871377) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.190903563546288 × 6371000     		du = 58.2946996987641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37872293)-sin(1.37871377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190894572001703-0.190903563546288)×R²
    abs(-0.50070092--0.50074885)×8.99154458489093e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.99154458489093e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.99154458489093e-06×40589641000000     		ar = 3401.90295443853m²