Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55090 / 14602
↖ ↑ ↗
← N 80.053306°
W 28.690796°		 ← 52.75 m → N 80.053306°
W 28.688050°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.052832°
W 28.690796°		 ← 52.75 m →
2 783 m²		 N 80.052832°
W 28.688050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420307159423828 y=0.111408233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420307159423828 × 217)
    floor (0.420307159423828 × 131072)
    floor (55090.5)     		tx = 55090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111408233642578 × 217)
    floor (0.111408233642578 × 131072)
    floor (14602.5)     		ty = 14602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55090 / 14602 ti = "17/55090/14602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55090/14602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55090 ÷ 217
    55090 ÷ 131072     		x = 0.420303344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14602 ÷ 217
    14602 ÷ 131072     		y = 0.111404418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420303344726562 × 2 - 1) × π
    -0.159393310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50074885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111404418945312 × 2 - 1) × π
    0.777191162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44161804524794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50074885} λ = -0.50074885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44161804524794))-π/2
    2×atan(11.491619668566)-π/2
    2×1.4839950508061-π/2
    2.96799010161221-1.57079632675     		φ = 1.39719377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50074885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.690796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39719377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.053306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55090 KachelY 14602 -0.50074885 1.39719377 -28.690796 80.053306
    Oben rechts KachelX + 1 55091 KachelY 14602 -0.50070092 1.39719377 -28.688050 80.053306
    Unten links KachelX 55090 KachelY + 1 14603 -0.50074885 1.39718549 -28.690796 80.052832
    Unten rechts KachelX + 1 55091 KachelY + 1 14603 -0.50070092 1.39718549 -28.688050 80.052832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39719377-1.39718549) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dl = 52.751879999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39719377-1.39718549) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dr = 52.751879999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50074885--0.50070092) × cos(1.39719377) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17273186862751 × 6371000     		do = 52.745754049822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50074885--0.50070092) × cos(1.39718549) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172740024163944 × 6371000     		du = 52.7482444409833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39719377)-sin(1.39718549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17273186862751-0.172740024163944)×R²
    abs(-0.50070092--0.50074885)×8.1555364344621e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.1555364344621e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.1555364344621e-06×40589641000000     		ar = 2782.50337462258m²