Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55088 / 14607
↖ ↑ ↗
← N 80.050934°
W 28.696289°		 ← 52.77 m → N 80.050934°
W 28.693542°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.050460°
W 28.696289°		 ← 52.77 m →
2 784 m²		 N 80.050460°
W 28.693542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420291900634766 y=0.111446380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420291900634766 × 217)
    floor (0.420291900634766 × 131072)
    floor (55088.5)     		tx = 55088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111446380615234 × 217)
    floor (0.111446380615234 × 131072)
    floor (14607.5)     		ty = 14607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55088 / 14607 ti = "17/55088/14607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55088/14607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55088 ÷ 217
    55088 ÷ 131072     		x = 0.4202880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14607 ÷ 217
    14607 ÷ 131072     		y = 0.111442565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50084473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111442565917969 × 2 - 1) × π
    0.777114868164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.44137836074984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50084473} λ = -0.50084473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44137836074984))-π/2
    2×atan(11.4888656355361)-π/2
    2×1.48397434778735-π/2
    2.96794869557471-1.57079632675     		φ = 1.39715237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50084473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.696289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39715237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.050934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55088 KachelY 14607 -0.50084473 1.39715237 -28.696289 80.050934
    Oben rechts KachelX + 1 55089 KachelY 14607 -0.50079679 1.39715237 -28.693542 80.050934
    Unten links KachelX 55088 KachelY + 1 14608 -0.50084473 1.39714409 -28.696289 80.050460
    Unten rechts KachelX + 1 55089 KachelY + 1 14608 -0.50079679 1.39714409 -28.693542 80.050460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39715237-1.39714409) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dl = 52.751879999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39715237-1.39714409) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dr = 52.751879999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50084473--0.50079679) × cos(1.39715237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172772646191249 × 6371000     		do = 52.7692133146859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50084473--0.50079679) × cos(1.39714409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172780801668464 × 6371000     		du = 52.7717042073493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39715237)-sin(1.39714409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172772646191249-0.172780801668464)×R²
    abs(-0.50079679--0.50084473)×8.15547721494392e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.15547721494392e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.15547721494392e-06×40589641000000     		ar = 2783.74090804875m²