Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55086 / 16722
↖ ↑ ↗
← N 78.995529°
W 28.701782°		 ← 58.30 m → N 78.995529°
W 28.699035°		 →
↑
58.29 m
↓
↑
58.29 m
↓
N 78.995005°
W 28.701782°		 ← 58.30 m →
3 399 m²		 N 78.995005°
W 28.699035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420276641845703 y=0.127582550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420276641845703 × 217)
    floor (0.420276641845703 × 131072)
    floor (55086.5)     		tx = 55086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127582550048828 × 217)
    floor (0.127582550048828 × 131072)
    floor (16722.5)     		ty = 16722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55086 / 16722 ti = "17/55086/16722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55086/16722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55086 ÷ 217
    55086 ÷ 131072     		x = 0.420272827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16722 ÷ 217
    16722 ÷ 131072     		y = 0.127578735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420272827148438 × 2 - 1) × π
    -0.159454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50094060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127578735351562 × 2 - 1) × π
    0.744842529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33999181805342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50094060} λ = -0.50094060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33999181805342))-π/2
    2×atan(10.3811516243563)-π/2
    2×1.47476420164211-π/2
    2.94952840328422-1.57079632675     		φ = 1.37873208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50094060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.701782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37873208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.995529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55086 KachelY 16722 -0.50094060 1.37873208 -28.701782 78.995529
    Oben rechts KachelX + 1 55087 KachelY 16722 -0.50089266 1.37873208 -28.699035 78.995529
    Unten links KachelX 55086 KachelY + 1 16723 -0.50094060 1.37872293 -28.701782 78.995005
    Unten rechts KachelX + 1 55087 KachelY + 1 16723 -0.50089266 1.37872293 -28.699035 78.995005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37873208-1.37872293) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dl = 58.2946500007921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37873208-1.37872293) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dr = 58.2946500007921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50094060--0.50089266) × cos(1.37873208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190885590257223 × 6371000     		do = 58.301372659611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50094060--0.50089266) × cos(1.37872293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190894572001703 × 6371000     		du = 58.3041159155651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37873208)-sin(1.37872293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190885590257223-0.190894572001703)×R²
    abs(-0.50089266--0.50094060)×8.98174447933053e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.98174447933053e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.98174447933053e-06×40589641000000     		ar = 3398.73807231604m²