Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55085 / 12668
↖ ↑ ↗
← N 80.930158°
W 28.704529°		 ← 48.15 m → N 80.930158°
W 28.701782°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.929725°
W 28.704529°		 ← 48.15 m →
2 319 m²		 N 80.929725°
W 28.701782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420269012451172 y=0.0966529846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420269012451172 × 217)
    floor (0.420269012451172 × 131072)
    floor (55085.5)     		tx = 55085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966529846191406 × 217)
    floor (0.0966529846191406 × 131072)
    floor (12668.5)     		ty = 12668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55085 / 12668 ti = "17/55085/12668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55085/12668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55085 ÷ 217
    55085 ÷ 131072     		x = 0.420265197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12668 ÷ 217
    12668 ÷ 131072     		y = 0.096649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420265197753906 × 2 - 1) × π
    -0.159469604492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50098854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096649169921875 × 2 - 1) × π
    0.80670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53432800911313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50098854} λ = -0.50098854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53432800911313))-π/2
    2×atan(12.6079555694561)-π/2
    2×1.49164702160486-π/2
    2.98329404320972-1.57079632675     		φ = 1.41249772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50098854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.704529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41249772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.930158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55085 KachelY 12668 -0.50098854 1.41249772 -28.704529 80.930158
    Oben rechts KachelX + 1 55086 KachelY 12668 -0.50094060 1.41249772 -28.701782 80.930158
    Unten links KachelX 55085 KachelY + 1 12669 -0.50098854 1.41249016 -28.704529 80.929725
    Unten rechts KachelX + 1 55086 KachelY + 1 12669 -0.50094060 1.41249016 -28.701782 80.929725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41249772-1.41249016) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41249772-1.41249016) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50098854--0.50094060) × cos(1.41249772) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.157638315040537 × 6371000     		do = 48.1467990236891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50098854--0.50094060) × cos(1.41249016) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.157645780512727 × 6371000     		du = 48.1490791710571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41249772)-sin(1.41249016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157638315040537-0.157645780512727)×R²
    abs(-0.50094060--0.50098854)×7.46547218977156e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.46547218977156e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.46547218977156e-06×40589641000000     		ar = 2319.03393101451m²