Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55084 / 14604
↖ ↑ ↗
← N 80.052357°
W 28.707275°		 ← 52.75 m → N 80.052357°
W 28.704529°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.051883°
W 28.707275°		 ← 52.75 m →
2 783 m²		 N 80.051883°
W 28.704529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420261383056641 y=0.111423492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420261383056641 × 217)
    floor (0.420261383056641 × 131072)
    floor (55084.5)     		tx = 55084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111423492431641 × 217)
    floor (0.111423492431641 × 131072)
    floor (14604.5)     		ty = 14604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55084 / 14604 ti = "17/55084/14604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55084/14604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55084 ÷ 217
    55084 ÷ 131072     		x = 0.420257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14604 ÷ 217
    14604 ÷ 131072     		y = 0.111419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.15948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50103647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111419677734375 × 2 - 1) × π
    0.77716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4415221714487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50103647} λ = -0.50103647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4415221714487))-π/2
    2×atan(11.4905179761415)-π/2
    2×1.48398677018511-π/2
    2.96797354037022-1.57079632675     		φ = 1.39717721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50103647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39717721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.052357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55084 KachelY 14604 -0.50103647 1.39717721 -28.707275 80.052357
    Oben rechts KachelX + 1 55085 KachelY 14604 -0.50098854 1.39717721 -28.704529 80.052357
    Unten links KachelX 55084 KachelY + 1 14605 -0.50103647 1.39716893 -28.707275 80.051883
    Unten rechts KachelX + 1 55085 KachelY + 1 14605 -0.50098854 1.39716893 -28.704529 80.051883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39717721-1.39716893) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dl = 52.751879999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39717721-1.39716893) × R
    8.27999999986062e-06 × 6371000     		dr = 52.751879999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50103647--0.50098854) × cos(1.39717721) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.172748179688536 × 6371000     		do = 52.7507348284063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50103647--0.50098854) × cos(1.39716893) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.172756335201284 × 6371000     		du = 52.7532252123348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39717721)-sin(1.39716893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172748179688536-0.172756335201284)×R²
    abs(-0.50098854--0.50103647)×8.15551274832571e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.15551274832571e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.15551274832571e-06×40589641000000     		ar = 2782.76611971826m²