Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55084 / 14603
↖ ↑ ↗
← N 80.052832°
W 28.707275°		 ← 52.75 m → N 80.052832°
W 28.704529°		 →
↑
52.75 m
↓
↑
52.75 m
↓
N 80.052357°
W 28.707275°		 ← 52.75 m →
2 783 m²		 N 80.052357°
W 28.704529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420261383056641 y=0.111415863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420261383056641 × 217)
    floor (0.420261383056641 × 131072)
    floor (55084.5)     		tx = 55084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111415863037109 × 217)
    floor (0.111415863037109 × 131072)
    floor (14603.5)     		ty = 14603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55084 / 14603 ti = "17/55084/14603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55084/14603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55084 ÷ 217
    55084 ÷ 131072     		x = 0.420257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14603 ÷ 217
    14603 ÷ 131072     		y = 0.111412048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.15948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50103647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111412048339844 × 2 - 1) × π
    0.777175903320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.44157010834832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50103647} λ = -0.50103647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44157010834832))-π/2
    2×atan(11.4910688091508)-π/2
    2×1.48399091059335-π/2
    2.9679818211867-1.57079632675     		φ = 1.39718549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50103647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39718549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.052832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55084 KachelY 14603 -0.50103647 1.39718549 -28.707275 80.052832
    Oben rechts KachelX + 1 55085 KachelY 14603 -0.50098854 1.39718549 -28.704529 80.052832
    Unten links KachelX 55084 KachelY + 1 14604 -0.50103647 1.39717721 -28.707275 80.052357
    Unten rechts KachelX + 1 55085 KachelY + 1 14604 -0.50098854 1.39717721 -28.704529 80.052357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39718549-1.39717721) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dl = 52.7518800005267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39718549-1.39717721) × R
    8.28000000008267e-06 × 6371000     		dr = 52.7518800005267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50103647--0.50098854) × cos(1.39718549) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.172740024163944 × 6371000     		do = 52.7482444408612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50103647--0.50098854) × cos(1.39717721) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.172748179688536 × 6371000     		du = 52.7507348284063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39718549)-sin(1.39717721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172740024163944-0.172748179688536)×R²
    abs(-0.50098854--0.50103647)×8.15552459187963e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.15552459187963e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.15552459187963e-06×40589641000000     		ar = 2782.63474727519m²