Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55084 / 12676
↖ ↑ ↗
← N 80.926693°
W 28.707275°		 ← 48.15 m → N 80.926693°
W 28.704529°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.926260°
W 28.707275°		 ← 48.16 m →
2 319 m²		 N 80.926260°
W 28.704529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420261383056641 y=0.0967140197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420261383056641 × 217)
    floor (0.420261383056641 × 131072)
    floor (55084.5)     		tx = 55084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967140197753906 × 217)
    floor (0.0967140197753906 × 131072)
    floor (12676.5)     		ty = 12676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55084 / 12676 ti = "17/55084/12676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55084/12676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55084 ÷ 217
    55084 ÷ 131072     		x = 0.420257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12676 ÷ 217
    12676 ÷ 131072     		y = 0.096710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.15948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50103647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096710205078125 × 2 - 1) × π
    0.80657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53394451391617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50103647} λ = -0.50103647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53394451391617))-π/2
    2×atan(12.6031214060502)-π/2
    2×1.49161678911169-π/2
    2.98323357822339-1.57079632675     		φ = 1.41243725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50103647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41243725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.926693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55084 KachelY 12676 -0.50103647 1.41243725 -28.707275 80.926693
    Oben rechts KachelX + 1 55085 KachelY 12676 -0.50098854 1.41243725 -28.704529 80.926693
    Unten links KachelX 55084 KachelY + 1 12677 -0.50103647 1.41242969 -28.707275 80.926260
    Unten rechts KachelX + 1 55085 KachelY + 1 12677 -0.50098854 1.41242969 -28.704529 80.926260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41243725-1.41242969) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41243725-1.41242969) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50103647--0.50098854) × cos(1.41243725) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.157698028690877 × 6371000     		do = 48.1549901679623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50103647--0.50098854) × cos(1.41242969) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.157705494090986 × 6371000     		du = 48.1572698176945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41243725)-sin(1.41242969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157698028690877-0.157705494090986)×R²
    abs(-0.50098854--0.50103647)×7.46540010954089e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.46540010954089e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.46540010954089e-06×40589641000000     		ar = 2319.42844367693m²