Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55083 / 12664
↖ ↑ ↗
← N 80.931889°
W 28.710022°		 ← 48.14 m → N 80.931889°
W 28.707275°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.931456°
W 28.710022°		 ← 48.14 m →
2 319 m²		 N 80.931456°
W 28.707275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420253753662109 y=0.0966224670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420253753662109 × 217)
    floor (0.420253753662109 × 131072)
    floor (55083.5)     		tx = 55083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966224670410156 × 217)
    floor (0.0966224670410156 × 131072)
    floor (12664.5)     		ty = 12664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55083 / 12664 ti = "17/55083/12664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55083/12664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55083 ÷ 217
    55083 ÷ 131072     		x = 0.420249938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12664 ÷ 217
    12664 ÷ 131072     		y = 0.09661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420249938964844 × 2 - 1) × π
    -0.159500122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50108441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09661865234375 × 2 - 1) × π
    0.8067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53451975671161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50108441} λ = -0.50108441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53451975671161))-π/2
    2×atan(12.6103733464523)-π/2
    2×1.49166213355859-π/2
    2.98332426711719-1.57079632675     		φ = 1.41252794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50108441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.710022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41252794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.931889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55083 KachelY 12664 -0.50108441 1.41252794 -28.710022 80.931889
    Oben rechts KachelX + 1 55084 KachelY 12664 -0.50103647 1.41252794 -28.707275 80.931889
    Unten links KachelX 55083 KachelY + 1 12665 -0.50108441 1.41252038 -28.710022 80.931456
    Unten rechts KachelX + 1 55084 KachelY + 1 12665 -0.50103647 1.41252038 -28.707275 80.931456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41252794-1.41252038) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41252794-1.41252038) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50108441--0.50103647) × cos(1.41252794) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.15760847281172 × 6371000     		do = 48.1376844388694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50108441--0.50103647) × cos(1.41252038) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.157615938319922 × 6371000     		du = 48.1399645972364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41252794)-sin(1.41252038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15760847281172-0.157615938319922)×R²
    abs(-0.50103647--0.50108441)×7.4655082017705e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.4655082017705e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.4655082017705e-06×40589641000000     		ar = 2318.59492953802m²