Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55082 / 12665
↖ ↑ ↗
← N 80.931456°
W 28.712769°		 ← 48.14 m → N 80.931456°
W 28.710022°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
N 80.931024°
W 28.712769°		 ← 48.14 m →
2 316 m²		 N 80.931024°
W 28.710022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420246124267578 y=0.0966300964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420246124267578 × 217)
    floor (0.420246124267578 × 131072)
    floor (55082.5)     		tx = 55082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966300964355469 × 217)
    floor (0.0966300964355469 × 131072)
    floor (12665.5)     		ty = 12665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55082 / 12665 ti = "17/55082/12665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55082/12665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55082 ÷ 217
    55082 ÷ 131072     		x = 0.420242309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12665 ÷ 217
    12665 ÷ 131072     		y = 0.0966262817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420242309570312 × 2 - 1) × π
    -0.159515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50113235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0966262817382812 × 2 - 1) × π
    0.806747436523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.53447181981199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50113235} λ = -0.50113235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53447181981199))-π/2
    2×atan(12.6097688587398)-π/2
    2×1.49165835583842-π/2
    2.98331671167684-1.57079632675     		φ = 1.41252038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50113235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.712769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41252038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.931456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55082 KachelY 12665 -0.50113235 1.41252038 -28.712769 80.931456
    Oben rechts KachelX + 1 55083 KachelY 12665 -0.50108441 1.41252038 -28.710022 80.931456
    Unten links KachelX 55082 KachelY + 1 12666 -0.50113235 1.41251283 -28.712769 80.931024
    Unten rechts KachelX + 1 55083 KachelY + 1 12666 -0.50108441 1.41251283 -28.710022 80.931024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41252038-1.41251283) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dl = 48.1010499990844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41252038-1.41251283) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dr = 48.1010499990844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50113235--0.50108441) × cos(1.41252038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157615938319922 × 6371000     		do = 48.1399645971249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50113235--0.50108441) × cos(1.41251283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157623393944122 × 6371000     		du = 48.1422417366635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41252038)-sin(1.41251283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157615938319922-0.157623393944122)×R²
    abs(-0.50108441--0.50113235)×7.45562420029211e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45562420029211e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45562420029211e-06×40589641000000     		ar = 2315.63761051999m²