Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55080 / 16872
↖ ↑ ↗
← N 78.916608°
W 28.718262°		 ← 58.70 m → N 78.916608°
W 28.715515°		 →
↑
58.68 m
↓
↑
58.68 m
↓
N 78.916081°
W 28.718262°		 ← 58.70 m →
3 445 m²		 N 78.916081°
W 28.715515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420230865478516 y=0.128726959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420230865478516 × 217)
    floor (0.420230865478516 × 131072)
    floor (55080.5)     		tx = 55080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128726959228516 × 217)
    floor (0.128726959228516 × 131072)
    floor (16872.5)     		ty = 16872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55080 / 16872 ti = "17/55080/16872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55080/16872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55080 ÷ 217
    55080 ÷ 131072     		x = 0.42022705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16872 ÷ 217
    16872 ÷ 131072     		y = 0.12872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42022705078125 × 2 - 1) × π
    -0.1595458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50122822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12872314453125 × 2 - 1) × π
    0.7425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33280128311041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50122822} λ = -0.50122822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33280128311041))-π/2
    2×atan(10.3067733212164)-π/2
    2×1.47407548937731-π/2
    2.94815097875461-1.57079632675     		φ = 1.37735465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50122822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.718262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37735465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.916608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55080 KachelY 16872 -0.50122822 1.37735465 -28.718262 78.916608
    Oben rechts KachelX + 1 55081 KachelY 16872 -0.50118029 1.37735465 -28.715515 78.916608
    Unten links KachelX 55080 KachelY + 1 16873 -0.50122822 1.37734544 -28.718262 78.916081
    Unten rechts KachelX + 1 55081 KachelY + 1 16873 -0.50118029 1.37734544 -28.715515 78.916081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37735465-1.37734544) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dl = 58.6769099998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37735465-1.37734544) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dr = 58.6769099998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50122822--0.50118029) × cos(1.37735465) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192237510963905 × 6371000     		do = 58.7020365901212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50122822--0.50118029) × cos(1.37734544) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192246549174784 × 6371000     		du = 58.7047965165427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37735465)-sin(1.37734544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192237510963905-0.192246549174784)×R²
    abs(-0.50118029--0.50122822)×9.03821087905321e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.03821087905321e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.03821087905321e-06×40589641000000     		ar = 3444.53508969987m²