Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5508 / 2950
↖ ↑ ↗
← N 81.298354°
W119.487305°		 ← 184.82 m → N 81.298354°
W119.476318°		 →
↑
184.82 m
↓
↑
184.82 m
↓
N 81.296692°
W119.487305°		 ← 184.86 m →
34 162 m²		 N 81.296692°
W119.476318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.168106079101562 y=0.0900421142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.168106079101562 × 215)
    floor (0.168106079101562 × 32768)
    floor (5508.5)     		tx = 5508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0900421142578125 × 215)
    floor (0.0900421142578125 × 32768)
    floor (2950.5)     		ty = 2950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5508 / 2950 ti = "15/5508/2950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5508/2950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5508 ÷ 215
    5508 ÷ 32768     		x = 0.1680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2950 ÷ 215
    2950 ÷ 32768     		y = 0.09002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.08544688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09002685546875 × 2 - 1) × π
    0.8199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57593723798334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08544688} λ = -2.08544688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57593723798334))-π/2
    2×atan(13.1436300968777)-π/2
    2×1.49486013931703-π/2
    2.98972027863406-1.57079632675     		φ = 1.41892395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08544688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.487305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41892395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.298354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5508 KachelY 2950 -2.08544688 1.41892395 -119.487305 81.298354
    Oben rechts KachelX + 1 5509 KachelY 2950 -2.08525513 1.41892395 -119.476318 81.298354
    Unten links KachelX 5508 KachelY + 1 2951 -2.08544688 1.41889494 -119.487305 81.296692
    Unten rechts KachelX + 1 5509 KachelY + 1 2951 -2.08525513 1.41889494 -119.476318 81.296692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41892395-1.41889494) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dl = 184.822709999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41892395-1.41889494) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dr = 184.822709999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08544688--2.08525513) × cos(1.41892395) × R
    0.000191749999999935 × 0.151289221464006 × 6371000     		do = 184.82085104231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08544688--2.08525513) × cos(1.41889494) × R
    0.000191749999999935 × 0.151317897481908 × 6371000     		du = 184.855882791313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41892395)-sin(1.41889494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151289221464006-0.151317897481908)×R²
    abs(-2.08525513--2.08544688)×2.86760179018242e-05×R²
    0.000191749999999935×2.86760179018242e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.86760179018242e-05×40589641000000     		ar = 34162.3278883985m²