Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55073 / 19106
↖ ↑ ↗
← N 77.672950°
W 28.737488°		 ← 65.21 m → N 77.672950°
W 28.734741°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.672363°
W 28.737488°		 ← 65.21 m →
4 254 m²		 N 77.672363°
W 28.734741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420177459716797 y=0.145771026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420177459716797 × 217)
    floor (0.420177459716797 × 131072)
    floor (55073.5)     		tx = 55073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145771026611328 × 217)
    floor (0.145771026611328 × 131072)
    floor (19106.5)     		ty = 19106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55073 / 19106 ti = "17/55073/19106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55073/19106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55073 ÷ 217
    55073 ÷ 131072     		x = 0.420173645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19106 ÷ 217
    19106 ÷ 131072     		y = 0.145767211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420173645019531 × 2 - 1) × π
    -0.159652709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.50156378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145767211914062 × 2 - 1) × π
    0.708465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22571024935921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50156378} λ = -0.50156378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22571024935921))-π/2
    2×atan(9.26005741867038)-π/2
    2×1.46322251801253-π/2
    2.92644503602506-1.57079632675     		φ = 1.35564871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50156378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.737488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35564871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.672950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55073 KachelY 19106 -0.50156378 1.35564871 -28.737488 77.672950
    Oben rechts KachelX + 1 55074 KachelY 19106 -0.50151584 1.35564871 -28.734741 77.672950
    Unten links KachelX 55073 KachelY + 1 19107 -0.50156378 1.35563847 -28.737488 77.672363
    Unten rechts KachelX + 1 55074 KachelY + 1 19107 -0.50151584 1.35563847 -28.734741 77.672363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35564871-1.35563847) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dl = 65.2390400010272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35564871-1.35563847) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dr = 65.2390400010272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50156378--0.50151584) × cos(1.35564871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213491644099764 × 6371000     		do = 65.2058433829443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50156378--0.50151584) × cos(1.35563847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213501648004244 × 6371000     		du = 65.2088988328728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35564871)-sin(1.35563847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213491644099764-0.213501648004244)×R²
    abs(-0.50151584--0.50156378)×1.00039044794442e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00039044794442e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00039044794442e-05×40589641000000     		ar = 4254.06629209371m²