Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55070 / 42846
↖ ↑ ↗
← N 52.752919°
W 28.745727°		 ← 184.86 m → N 52.752919°
W 28.742981°		 →
↑
184.82 m
↓
↑
184.82 m
↓
N 52.751256°
W 28.745727°		 ← 184.87 m →
34 167 m²		 N 52.751256°
W 28.742981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420154571533203 y=0.326892852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420154571533203 × 217)
    floor (0.420154571533203 × 131072)
    floor (55070.5)     		tx = 55070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326892852783203 × 217)
    floor (0.326892852783203 × 131072)
    floor (42846.5)     		ty = 42846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55070 / 42846 ti = "17/55070/42846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55070/42846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55070 ÷ 217
    55070 ÷ 131072     		x = 0.420150756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42846 ÷ 217
    42846 ÷ 131072     		y = 0.326889038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420150756835938 × 2 - 1) × π
    -0.159698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50170759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326889038085938 × 2 - 1) × π
    0.346221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08768825237907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50170759} λ = -0.50170759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08768825237907))-π/2
    2×atan(2.96740624295479)-π/2
    2×1.24575422327907-π/2
    2.49150844655813-1.57079632675     		φ = 0.92071212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50170759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.745727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92071212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.752919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55070 KachelY 42846 -0.50170759 0.92071212 -28.745727 52.752919
    Oben rechts KachelX + 1 55071 KachelY 42846 -0.50165965 0.92071212 -28.742981 52.752919
    Unten links KachelX 55070 KachelY + 1 42847 -0.50170759 0.92068311 -28.745727 52.751256
    Unten rechts KachelX + 1 55071 KachelY + 1 42847 -0.50165965 0.92068311 -28.742981 52.751256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92071212-0.92068311) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dl = 184.822709999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92071212-0.92068311) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dr = 184.822709999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50170759--0.50165965) × cos(0.92071212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605253439255482 × 6371000     		do = 184.859979572029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50170759--0.50165965) × cos(0.92068311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605276531913335 × 6371000     		du = 184.867032664143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92071212)-sin(0.92068311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605253439255482-0.605276531913335)×R²
    abs(-0.50165965--0.50170759)×2.30926578531632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30926578531632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30926578531632e-05×40589641000000     		ar = 34166.9741833317m²