Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55067 / 42893
↖ ↑ ↗
← N 52.674717°
W 28.753967°		 ← 185.15 m → N 52.674717°
W 28.751221°		 →
↑
185.20 m
↓
↑
185.20 m
↓
N 52.673051°
W 28.753967°		 ← 185.16 m →
34 292 m²		 N 52.673051°
W 28.751221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420131683349609 y=0.327251434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420131683349609 × 217)
    floor (0.420131683349609 × 131072)
    floor (55067.5)     		tx = 55067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327251434326172 × 217)
    floor (0.327251434326172 × 131072)
    floor (42893.5)     		ty = 42893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55067 / 42893 ti = "17/55067/42893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55067/42893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55067 ÷ 217
    55067 ÷ 131072     		x = 0.420127868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42893 ÷ 217
    42893 ÷ 131072     		y = 0.327247619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420127868652344 × 2 - 1) × π
    -0.159744262695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50185140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327247619628906 × 2 - 1) × π
    0.345504760742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.08543521809693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50185140} λ = -0.50185140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08543521809693))-π/2
    2×atan(2.96072810082689)-π/2
    2×1.245071783325-π/2
    2.49014356665001-1.57079632675     		φ = 0.91934724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50185140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.753967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91934724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.674717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55067 KachelY 42893 -0.50185140 0.91934724 -28.753967 52.674717
    Oben rechts KachelX + 1 55068 KachelY 42893 -0.50180347 0.91934724 -28.751221 52.674717
    Unten links KachelX 55067 KachelY + 1 42894 -0.50185140 0.91931817 -28.753967 52.673051
    Unten rechts KachelX + 1 55068 KachelY + 1 42894 -0.50180347 0.91931817 -28.751221 52.673051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91934724-0.91931817) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dl = 185.204969999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91934724-0.91931817) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dr = 185.204969999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50185140--0.50180347) × cos(0.91934724) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.606339364451424 × 6371000     		do = 185.153019197481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50185140--0.50180347) × cos(0.91931817) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.606362480833509 × 6371000     		du = 185.160078062841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91934724)-sin(0.91931817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606339364451424-0.606362480833509)×R²
    abs(-0.50180347--0.50185140)×2.31163820848534e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31163820848534e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31163820848534e-05×40589641000000     		ar = 34291.9130367148m²