Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55067 / 42845
↖ ↑ ↗
← N 52.754581°
W 28.753967°		 ← 184.81 m → N 52.754581°
W 28.751221°		 →
↑
184.82 m
↓
↑
184.82 m
↓
N 52.752919°
W 28.753967°		 ← 184.82 m →
34 159 m²		 N 52.752919°
W 28.751221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420131683349609 y=0.326885223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420131683349609 × 217)
    floor (0.420131683349609 × 131072)
    floor (55067.5)     		tx = 55067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326885223388672 × 217)
    floor (0.326885223388672 × 131072)
    floor (42845.5)     		ty = 42845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55067 / 42845 ti = "17/55067/42845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55067/42845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55067 ÷ 217
    55067 ÷ 131072     		x = 0.420127868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42845 ÷ 217
    42845 ÷ 131072     		y = 0.326881408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420127868652344 × 2 - 1) × π
    -0.159744262695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50185140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326881408691406 × 2 - 1) × π
    0.346237182617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.08773618927869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50185140} λ = -0.50185140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08773618927869))-π/2
    2×atan(2.96754849461951)-π/2
    2×1.24576872998897-π/2
    2.49153745997793-1.57079632675     		φ = 0.92074113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50185140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.753967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92074113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.754581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55067 KachelY 42845 -0.50185140 0.92074113 -28.753967 52.754581
    Oben rechts KachelX + 1 55068 KachelY 42845 -0.50180347 0.92074113 -28.751221 52.754581
    Unten links KachelX 55067 KachelY + 1 42846 -0.50185140 0.92071212 -28.753967 52.752919
    Unten rechts KachelX + 1 55068 KachelY + 1 42846 -0.50180347 0.92071212 -28.751221 52.752919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92074113-0.92071212) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dl = 184.822709999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92074113-0.92071212) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dr = 184.822709999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50185140--0.50180347) × cos(0.92074113) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.60523034608826 × 6371000     		do = 184.814367098799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50185140--0.50180347) × cos(0.92071212) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.605253439255482 × 6371000     		du = 184.821418875221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92074113)-sin(0.92071212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60523034608826-0.605253439255482)×R²
    abs(-0.50180347--0.50185140)×2.30931672223766e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.30931672223766e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.30931672223766e-05×40589641000000     		ar = 34158.5438407256m²