Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55065 / 16878
↖ ↑ ↗
← N 78.913440°
W 28.759461°		 ← 58.73 m → N 78.913440°
W 28.756714°		 →
↑
58.74 m
↓
↑
58.74 m
↓
N 78.912912°
W 28.759461°		 ← 58.73 m →
3 450 m²		 N 78.912912°
W 28.756714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420116424560547 y=0.128772735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420116424560547 × 217)
    floor (0.420116424560547 × 131072)
    floor (55065.5)     		tx = 55065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128772735595703 × 217)
    floor (0.128772735595703 × 131072)
    floor (16878.5)     		ty = 16878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55065 / 16878 ti = "17/55065/16878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55065/16878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55065 ÷ 217
    55065 ÷ 131072     		x = 0.420112609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16878 ÷ 217
    16878 ÷ 131072     		y = 0.128768920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420112609863281 × 2 - 1) × π
    -0.159774780273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.50194728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128768920898438 × 2 - 1) × π
    0.742462158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33251366171269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50194728} λ = -0.50194728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33251366171269))-π/2
    2×atan(10.3038092989463)-π/2
    2×1.47404783966482-π/2
    2.94809567932964-1.57079632675     		φ = 1.37729935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50194728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.759461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37729935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.913440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55065 KachelY 16878 -0.50194728 1.37729935 -28.759461 78.913440
    Oben rechts KachelX + 1 55066 KachelY 16878 -0.50189934 1.37729935 -28.756714 78.913440
    Unten links KachelX 55065 KachelY + 1 16879 -0.50194728 1.37729013 -28.759461 78.912912
    Unten rechts KachelX + 1 55066 KachelY + 1 16879 -0.50189934 1.37729013 -28.756714 78.912912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37729935-1.37729013) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dl = 58.7406199994964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37729935-1.37729013) × R
    9.21999999992096e-06 × 6371000     		dr = 58.7406199994964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50194728--0.50189934) × cos(1.37729935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192291779238069 × 6371000     		do = 58.7308589696653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50194728--0.50189934) × cos(1.37729013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192300827164383 × 6371000     		du = 58.7336224392553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37729935)-sin(1.37729013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192291779238069-0.192300827164383)×R²
    abs(-0.50189934--0.50194728)×9.04792631406526e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.04792631406526e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.04792631406526e-06×40589641000000     		ar = 3449.9682329463m²