Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55064 / 16840
↖ ↑ ↗
← N 78.933492°
W 28.762207°		 ← 58.61 m → N 78.933492°
W 28.759461°		 →
↑
58.61 m
↓
↑
58.61 m
↓
N 78.932965°
W 28.762207°		 ← 58.62 m →
3 436 m²		 N 78.932965°
W 28.759461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420108795166016 y=0.128482818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420108795166016 × 217)
    floor (0.420108795166016 × 131072)
    floor (55064.5)     		tx = 55064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128482818603516 × 217)
    floor (0.128482818603516 × 131072)
    floor (16840.5)     		ty = 16840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55064 / 16840 ti = "17/55064/16840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55064/16840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55064 ÷ 217
    55064 ÷ 131072     		x = 0.42010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16840 ÷ 217
    16840 ÷ 131072     		y = 0.12847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42010498046875 × 2 - 1) × π
    -0.1597900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50199521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12847900390625 × 2 - 1) × π
    0.7430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33433526389825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50199521} λ = -0.50199521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33433526389825))-π/2
    2×atan(10.3225958460977)-π/2
    2×1.47422282277452-π/2
    2.94844564554905-1.57079632675     		φ = 1.37764932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50199521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.762207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37764932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.933492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55064 KachelY 16840 -0.50199521 1.37764932 -28.762207 78.933492
    Oben rechts KachelX + 1 55065 KachelY 16840 -0.50194728 1.37764932 -28.759461 78.933492
    Unten links KachelX 55064 KachelY + 1 16841 -0.50199521 1.37764012 -28.762207 78.932965
    Unten rechts KachelX + 1 55065 KachelY + 1 16841 -0.50194728 1.37764012 -28.759461 78.932965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37764932-1.37764012) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dl = 58.6132000002708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37764932-1.37764012) × R
    9.20000000004251e-06 × 6371000     		dr = 58.6132000002708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50199521--0.50194728) × cos(1.37764932) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191948328680444 × 6371000     		do = 58.6137313010034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50199521--0.50194728) × cos(1.37764012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191957357598626 × 6371000     		du = 58.6164883897881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37764932)-sin(1.37764012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191948328680444-0.191957357598626)×R²
    abs(-0.50194728--0.50199521)×9.02891818174711e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.02891818174711e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.02891818174711e-06×40589641000000     		ar = 3435.61915656708m²