Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55063 / 16879
↖ ↑ ↗
← N 78.912912°
W 28.764954°		 ← 58.73 m → N 78.912912°
W 28.762207°		 →
↑
58.68 m
↓
↑
58.68 m
↓
N 78.912384°
W 28.764954°		 ← 58.74 m →
3 446 m²		 N 78.912384°
W 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420101165771484 y=0.128780364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420101165771484 × 217)
    floor (0.420101165771484 × 131072)
    floor (55063.5)     		tx = 55063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128780364990234 × 217)
    floor (0.128780364990234 × 131072)
    floor (16879.5)     		ty = 16879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55063 / 16879 ti = "17/55063/16879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55063/16879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55063 ÷ 217
    55063 ÷ 131072     		x = 0.420097351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16879 ÷ 217
    16879 ÷ 131072     		y = 0.128776550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420097351074219 × 2 - 1) × π
    -0.159805297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50204315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128776550292969 × 2 - 1) × π
    0.742446899414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.33246572481307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50204315} λ = -0.50204315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33246572481307))-π/2
    2×atan(10.3033153781128)-π/2
    2×1.47404323062061-π/2
    2.94808646124123-1.57079632675     		φ = 1.37729013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50204315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.764954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37729013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.912912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55063 KachelY 16879 -0.50204315 1.37729013 -28.764954 78.912912
    Oben rechts KachelX + 1 55064 KachelY 16879 -0.50199521 1.37729013 -28.762207 78.912912
    Unten links KachelX 55063 KachelY + 1 16880 -0.50204315 1.37728092 -28.764954 78.912384
    Unten rechts KachelX + 1 55064 KachelY + 1 16880 -0.50199521 1.37728092 -28.762207 78.912384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37729013-1.37728092) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dl = 58.6769099998836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37729013-1.37728092) × R
    9.20999999998173e-06 × 6371000     		dr = 58.6769099998836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50204315--0.50199521) × cos(1.37729013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192300827164383 × 6371000     		do = 58.7336224392553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50204315--0.50199521) × cos(1.37728092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192309865261007 × 6371000     		du = 58.736382906605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37729013)-sin(1.37728092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192300827164383-0.192309865261007)×R²
    abs(-0.50199521--0.50204315)×9.03809662441968e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.03809662441968e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.03809662441968e-06×40589641000000     		ar = 3446.38846574629m²