Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55063 / 12743
↖ ↑ ↗
← N 80.897628°
W 28.764954°		 ← 48.32 m → N 80.897628°
W 28.762207°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
N 80.897193°
W 28.764954°		 ← 48.32 m →
2 337 m²		 N 80.897193°
W 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420101165771484 y=0.0972251892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420101165771484 × 217)
    floor (0.420101165771484 × 131072)
    floor (55063.5)     		tx = 55063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0972251892089844 × 217)
    floor (0.0972251892089844 × 131072)
    floor (12743.5)     		ty = 12743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55063 / 12743 ti = "17/55063/12743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55063/12743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55063 ÷ 217
    55063 ÷ 131072     		x = 0.420097351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12743 ÷ 217
    12743 ÷ 131072     		y = 0.0972213745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420097351074219 × 2 - 1) × π
    -0.159805297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50204315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0972213745117188 × 2 - 1) × π
    0.805557250976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.53073274164162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50204315} λ = -0.50204315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53073274164162))-π/2
    2×atan(12.5627079842397)-π/2
    2×1.49136314202769-π/2
    2.98272628405538-1.57079632675     		φ = 1.41192996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50204315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.764954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41192996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.897628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55063 KachelY 12743 -0.50204315 1.41192996 -28.764954 80.897628
    Oben rechts KachelX + 1 55064 KachelY 12743 -0.50199521 1.41192996 -28.762207 80.897628
    Unten links KachelX 55063 KachelY + 1 12744 -0.50204315 1.41192237 -28.764954 80.897193
    Unten rechts KachelX + 1 55064 KachelY + 1 12744 -0.50199521 1.41192237 -28.762207 80.897193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41192996-1.41192237) × R
    7.58999999983523e-06 × 6371000     		dl = 48.3558899989502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41192996-1.41192237) × R
    7.58999999983523e-06 × 6371000     		dr = 48.3558899989502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50204315--0.50199521) × cos(1.41192996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158198950852702 × 6371000     		do = 48.3180316313785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50204315--0.50199521) × cos(1.41192237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158206445269229 × 6371000     		du = 48.320320619092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41192996)-sin(1.41192237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158198950852702-0.158206445269229)×R²
    abs(-0.50199521--0.50204315)×7.49441652658778e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.49441652658778e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.49441652658778e-06×40589641000000     		ar = 2336.51676544866m²