Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55063 / 12688
↖ ↑ ↗
← N 80.921494°
W 28.764954°		 ← 48.19 m → N 80.921494°
W 28.762207°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.921061°
W 28.764954°		 ← 48.19 m →
2 321 m²		 N 80.921061°
W 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420101165771484 y=0.0968055725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420101165771484 × 217)
    floor (0.420101165771484 × 131072)
    floor (55063.5)     		tx = 55063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0968055725097656 × 217)
    floor (0.0968055725097656 × 131072)
    floor (12688.5)     		ty = 12688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55063 / 12688 ti = "17/55063/12688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55063/12688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55063 ÷ 217
    55063 ÷ 131072     		x = 0.420097351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12688 ÷ 217
    12688 ÷ 131072     		y = 0.0968017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420097351074219 × 2 - 1) × π
    -0.159805297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50204315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0968017578125 × 2 - 1) × π
    0.806396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53336927112073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50204315} λ = -0.50204315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53336927112073))-π/2
    2×atan(12.5958736360749)-π/2
    2×1.49157141889979-π/2
    2.98314283779958-1.57079632675     		φ = 1.41234651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50204315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.764954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41234651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.921494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55063 KachelY 12688 -0.50204315 1.41234651 -28.764954 80.921494
    Oben rechts KachelX + 1 55064 KachelY 12688 -0.50199521 1.41234651 -28.762207 80.921494
    Unten links KachelX 55063 KachelY + 1 12689 -0.50204315 1.41233895 -28.764954 80.921061
    Unten rechts KachelX + 1 55064 KachelY + 1 12689 -0.50199521 1.41233895 -28.762207 80.921061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41234651-1.41233895) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41234651-1.41233895) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50204315--0.50199521) × cos(1.41234651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157787632646672 × 6371000     		do = 48.1924044639262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50204315--0.50199521) × cos(1.41233895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157795097938568 × 6371000     		du = 48.1946845562279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41234651)-sin(1.41233895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157787632646672-0.157795097938568)×R²
    abs(-0.50199521--0.50204315)×7.46529189629697e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.46529189629697e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.46529189629697e-06×40589641000000     		ar = 2321.23050485904m²