Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55062 / 12757
↖ ↑ ↗
← N 80.891542°
W 28.767700°		 ← 48.35 m → N 80.891542°
W 28.764954°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
N 80.891107°
W 28.767700°		 ← 48.35 m →
2 338 m²		 N 80.891107°
W 28.764954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420093536376953 y=0.0973320007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420093536376953 × 217)
    floor (0.420093536376953 × 131072)
    floor (55062.5)     		tx = 55062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0973320007324219 × 217)
    floor (0.0973320007324219 × 131072)
    floor (12757.5)     		ty = 12757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55062 / 12757 ti = "17/55062/12757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55062/12757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55062 ÷ 217
    55062 ÷ 131072     		x = 0.420089721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12757 ÷ 217
    12757 ÷ 131072     		y = 0.0973281860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420089721679688 × 2 - 1) × π
    -0.159820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50209109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0973281860351562 × 2 - 1) × π
    0.805343627929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.53006162504694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50209109} λ = -0.50209109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53006162504694))-π/2
    2×atan(12.5542797709106)-π/2
    2×1.49131003946362-π/2
    2.98262007892724-1.57079632675     		φ = 1.41182375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50209109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.767700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41182375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.891542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55062 KachelY 12757 -0.50209109 1.41182375 -28.767700 80.891542
    Oben rechts KachelX + 1 55063 KachelY 12757 -0.50204315 1.41182375 -28.764954 80.891542
    Unten links KachelX 55062 KachelY + 1 12758 -0.50209109 1.41181616 -28.767700 80.891107
    Unten rechts KachelX + 1 55063 KachelY + 1 12758 -0.50204315 1.41181616 -28.764954 80.891107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41182375-1.41181616) × R
    7.58999999983523e-06 × 6371000     		dl = 48.3558899989502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41182375-1.41181616) × R
    7.58999999983523e-06 × 6371000     		dr = 48.3558899989502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50209109--0.50204315) × cos(1.41182375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158303822485026 × 6371000     		do = 48.3500621272859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50209109--0.50204315) × cos(1.41181616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158311316773977 × 6371000     		du = 48.3523510760348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41182375)-sin(1.41181616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158303822485026-0.158311316773977)×R²
    abs(-0.50204315--0.50209109)×7.49428895177595e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.49428895177595e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.49428895177595e-06×40589641000000     		ar = 2338.06562779995m²