Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55061 / 16874
↖ ↑ ↗
← N 78.915552°
W 28.770447°		 ← 58.71 m → N 78.915552°
W 28.767700°		 →
↑
58.74 m
↓
↑
58.74 m
↓
N 78.915024°
W 28.770447°		 ← 58.71 m →
3 449 m²		 N 78.915024°
W 28.767700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420085906982422 y=0.128742218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420085906982422 × 217)
    floor (0.420085906982422 × 131072)
    floor (55061.5)     		tx = 55061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128742218017578 × 217)
    floor (0.128742218017578 × 131072)
    floor (16874.5)     		ty = 16874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55061 / 16874 ti = "17/55061/16874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55061/16874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55061 ÷ 217
    55061 ÷ 131072     		x = 0.420082092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16874 ÷ 217
    16874 ÷ 131072     		y = 0.128738403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420082092285156 × 2 - 1) × π
    -0.159835815429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50213902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128738403320312 × 2 - 1) × π
    0.742523193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33270540931117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50213902} λ = -0.50213902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33270540931117))-π/2
    2×atan(10.3057852190675)-π/2
    2×1.47406627367361-π/2
    2.94813254734721-1.57079632675     		φ = 1.37733622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50213902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.770447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37733622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.915552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55061 KachelY 16874 -0.50213902 1.37733622 -28.770447 78.915552
    Oben rechts KachelX + 1 55062 KachelY 16874 -0.50209109 1.37733622 -28.767700 78.915552
    Unten links KachelX 55061 KachelY + 1 16875 -0.50213902 1.37732700 -28.770447 78.915024
    Unten rechts KachelX + 1 55062 KachelY + 1 16875 -0.50209109 1.37732700 -28.767700 78.915024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37733622-1.37732700) × R
    9.220000000143e-06 × 6371000     		dl = 58.7406200009111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37733622-1.37732700) × R
    9.220000000143e-06 × 6371000     		dr = 58.7406200009111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50213902--0.50209109) × cos(1.37733622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192255597182805 × 6371000     		do = 58.7075594346394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50213902--0.50209109) × cos(1.37732700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192264645174482 × 6371000     		du = 58.7103223477455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37733622)-sin(1.37732700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192255597182805-0.192264645174482)×R²
    abs(-0.50209109--0.50213902)×9.04799167761317e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.04799167761317e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.04799167761317e-06×40589641000000     		ar = 3448.59958744589m²